Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nhận đường thẳng $x=1$ làm tiệm cận đứng như hình vẽ bên. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[2;4]$ bằng 6.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, $y=f^{\prime }(x)$ có tiệm cận đứng $x=1$ và đi qua điểm $(0;-3)$, hai nhánh nằm dưới trục hoành tiến về 0. Vì $f^{\prime }(x)=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$ nên $f^{\prime }(x)=\frac{k}{(x-1{)}^2}$ với $k<0$; do $f^{\prime }(0)=-3$ nên $k=-3$. Suy ra $f(x)=\frac{3}{x-1}+C$. Trên $[2;4]$, $f^{\prime }<0$ nên $f$ nghịch biến, giá trị nhỏ nhất tại $x=4$: $f(4)=1+C=6\Rightarrow C=5$. Vậy $f(x)=\frac{3}{x-1}+5$.
a) Sai: vì $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
b) Sai: $f(2)=\frac{3}{1}+5=8\ne 6$.
c) Đúng: $y=5+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, tức $x\in \{2,4,0,-2\}$ cho các điểm $(2;8),(4;6),(0;2),(-2;4)$: đúng 4 điểm nguyên.
d) Sai: khoảng cách từ $M(x,y)$ đến $\Delta :3x+y-6=0$ là $d=\frac{|3x-1+\frac{3}{x-1}|}{\sqrt{10}}$. Đặt $t=x-1<0$: $3t+\frac{3}{t}+2\le -6+2=-4$ (đẳng thức khi $t=-1$), nên $d_{\min }=\frac{4}{\sqrt{10}}$ tại $x=0$, $y=2$, tức $M(0;2)$, $a+b=2\ne -2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-\frac{3}{(x-1{)}^2}<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;+\infty )$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{3}{x-1}+5$ nên $f(2)=8\ne 6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=5+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho 4 điểm nguyên: $(2;8),(4;6),(0;2),(-2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách nhỏ nhất đạt tại $M(0;2)$ với $a+b=2\ne -2$.