Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x-1}-1}{2x^2-6x+4}& \text{khi }x\ne 1\\ \frac{-7a+1}{12}& \text{khi }x=1\end{array}$ và $g(x)=\cos \frac{\pi x}{4}$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Tính $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$: nhân liên hợp, $\sqrt{2x-1}-1=\frac{2(x-1)}{\sqrt{2x-1}+1}$, nên $f(x)=\frac{2(x-1)}{(\sqrt{2x-1}+1)\cdot 2(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(\sqrt{2x-1}+1)(x-2)}\to \frac{1}{2\cdot (-1)}=-\frac{1}{2}$. a) Với $a=0$: $f(1)=\frac{1}{12}\ne -\frac{1}{2}$, nên $f$ gián đoạn tại $x=1$, do đó $y=f(x)+2g(x)$ không liên tục tại $x_0=1$ (dù $2g(x)$ liên tục). → Sai. b) $f(5)=\frac{\sqrt{9}-1}{50-30+4}=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<1$. → Sai. c) $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$. → Sai. d) Với $a=1$: $f(1)=\frac{-7+1}{12}=-\frac{1}{2}=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x_0=1$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0$: $f(1)=\frac{1}{12}\ne -\frac{1}{2}=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, nên $y=f(x)+2g(x)$ không liên tục tại $x_0=1$. → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(5)=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}<1$. → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$. → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$: $f(1)=-\frac{1}{2}=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x_0=1$. → Đúng.