Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}(x+3)+\frac{1}{2}{\log }_9(x-1{)}^4\ge 2{\log }_9(4x)$ là $S=(a;b]\cup [c;+\infty )$. Tính $T=a+c$?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$, $x\ne 1$. Đổi cơ số: $\frac{1}{2}{\log }_{\sqrt{3}}(x+3)={\log }_3(x+3)={\log }_9(x+3{)}^2$; $\frac{1}{2}{\log }_9(x-1{)}^4={\log }_9(x-1{)}^2$; $2{\log }_9(4x)={\log }_9(16x^2)$. Bất phương trình tương đương ${\log }_9[(x+3{)}^2(x-1{)}^2]\ge {\log }_9(16x^2)$, tức $|(x+3)(x-1)|\ge 4x$ (với $x>0$, $x\ne 1$).

- Với $x>1$: $(x+3)(x-1)\ge 4x\iff x^2-2x-3\ge 0\iff x\ge 3$.
- Với $0<x<1$: $(x+3)(1-x)\ge 4x\iff x^2+6x-3\le 0\iff x\le 2\sqrt{3}-3\approx 0,464$.

Vậy $S=(0;2\sqrt{3}-3]\cup [3;+\infty )$, nên $a=0$, $c=3$, do đó $T=a+c=3$. Kiểm tra: $x=0,3$: $|3,3\cdot (-0,7)|=2,31\ge 1,2$ ✓; $x=2$: $5<8$ loại ✓; $x=4$: $21\ge 16$ ✓.