Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}}{(x-2)\left(x^2+3x+9\right)},& \text{khi }x\ne 2\\ mx+3m^2+\frac{1}{27},& \text{khi }x=2\end{array}$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số liên tục tại điểm $x_0=2$?

(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$: $\sqrt[3]{2-29}=\sqrt[3]{-27}=-3$, $\sqrt{4\cdot 2+1}=3$ nên tử số bằng $0$, mẫu số cũng bằng $0$ (vì $(x-2)(x^2+3x+9)=x^3-27$). Đặt $a=\sqrt[3]{x-29}$, $b=\sqrt{4x+1}$. Ta có $a^3+27=x-2=(a+3)(a^2-3a+9)$ và $b^2-9=4(x-2)=(b-3)(b+3)$. Suy ra $a+3=\frac{x-2}{a^2-3a+9}$, $b-3=\frac{4(x-2)}{b+3}$, do đó $$\sqrt[3]{x-29}+\sqrt{4x+1}=(x-2)\left[\frac{1}{a^2-3a+9}+\frac{4}{b+3}\right].$$ Khi $x\to 2$: $a\to -3$ nên $a^2-3a+9\to 27$; $b\to 3$ nên $b+3\to 6$. Mẫu số $(x-2)(x^2+3x+9)$, với $x^2+3x+9\to 19$. Vậy $$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\frac{\frac{1}{27}+\frac{4}{6}}{19}=\frac{\frac{1}{27}+\frac{2}{3}}{19}=\frac{19/27}{19}=\frac{1}{27}.$$ Hàm số liên tục tại $x_0=2$ khi $f(2)=2m+3m^2+\frac{1}{27}=\frac{1}{27}$, tức $3m^2+2m=0\iff m(3m+2)=0\iff m=0$ hoặc $m=-\frac{2}{3}$. Trong hai giá trị này chỉ có $m=0$ là nguyên. Vậy có đúng $1$ giá trị nguyên của $m$, khớp với đáp án nguồn.