Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng 5. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Mặt phẳng $(P)$ qua $MN$, song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và cắt $BC$ tại $Q$. Tính độ dài đoạn thẳng $BQ$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(5;0;0)$, $D(0;5;0)$, $A^{\prime }(0;0;5)$. Khi đó $M(2,5;0;0)$, $N(0;2,5;5)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(5;5;0)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $MN$ (vectors chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(-2,5;2,5;5)$) và song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\propto (1;-1;1)$. Phương trình $(P)$: $x-y+z=2,5$ (thỏa mãn với $M$ và $N$). Đường thẳng $BC$: $x=5,z=0$, thay vào $(P)$: $5-y=2,5\Rightarrow y=2,5$. Vậy $Q(5;2,5;0)$ và $BQ=2,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,5.