Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+4}{x-1}& khix<1\\ 3x-6& khix\ge 1\end{array}$

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-5x+4}{x-1}& x<1\\ 3x-6& x\ge 1\end{array}$.

a) Với $x=1$ thì dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$. Đúng.

b) Với $x<1$: $\frac{x^2-5x+4}{x-1}=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=1-4=-3$. Đúng.

c) Ta có ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=3(1)-6=-3=f(1)$, nên hàm số liên tục tại $x_0=1$. Khẳng định 'gián đoạn tại $x_0=1$' là Sai.

d) ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{(3x-6)-(-3)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$. Sai.

Kết quả a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp với đáp án nguồn (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$ dùng nhánh $x\ge 1$: $f(1)=3(1)-6=-3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-4)}{x-1}=x-4$, nên ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=-3$ nên hàm số liên tục tại $x_0=1$, không gián đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{3x-3}{x-1}=3\ne 1$.