Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}& \text{khi }x\ne 1\\ m& \text{khi }x=1\end{array}$. Tìm m để hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$ (với $m$ là tham số).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên $[0;2]$ khi và chỉ khi nó liên tục tại $x=1$ (trên các khoảng còn lại biểu thức $\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}$ liên tục vì mẫu khác 0 với $x\ne 1$, $x\in [0;2]$). Ta có:
$$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(\sqrt{x}+1)(x+1)=(1+1)(1+1)=4.$$
Để hàm số liên tục tại $x=1$ thì $f(1)=m$ phải bằng giới hạn trên, tức $m=4$. Vậy $m=4$ thì hàm số liên tục trên đoạn $[0;2]$.