Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $SB$, $BC$ và $SD$. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ: S là gốc, $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$, $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$ (vì ABCD hình bình hành). Khi đó $\overrightarrow{SM}=\vec{b}/2$, $\overrightarrow{SN}=(\vec{b}+\vec{c})/2$, $\overrightarrow{SP}=\vec{d}/2$.
a) Điểm trên $(MNP)$ có dạng $\frac{1-\mu }{2}\vec{b}+\frac{\lambda }{2}\vec{c}+\frac{\mu }{2}\vec{d}$. Điểm trên đường SA có dạng $t(\vec{b}+\vec{d}-\vec{c})$. So sánh hệ số: $t=\lambda /2$, $t=\mu /2$, $t=(1-\mu )/2\Rightarrow \lambda =\mu =2t$ và $2t=1-2t\Rightarrow t=1/4$. Vậy $SK/SA=1/4$ ⇒ mệnh đề a ĐÚNG.
b) Trong tam giác SBD, MP là đường trung bình nên MP ∥ BD. Vì MP ⊂ (MNP), BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua N song song với BD, do đó không cắt đường thẳng BD ⇒ mệnh đề b SAI.
c) MP nằm trong mặt phẳng (SBD) và MP ∥ BD; SC chỉ cắt mặt phẳng (SBD) tại S, mà MP không qua S, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau ⇒ mệnh đề c ĐÚNG.
d) (SAB) và (SBC) có chung điểm S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA ⇒ mệnh đề d SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc S: $\overrightarrow{SB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{SC}=\vec{c}$, $\overrightarrow{SD}=\vec{d}$; vì ABCD hình bình hành nên $\overrightarrow{SA}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{c}$. Khi đó $\overrightarrow{SM}=\vec{b}/2$, $\overrightarrow{SN}=(\vec{b}+\vec{c})/2$, $\overrightarrow{SP}=\vec{d}/2$. Điểm trên $(MNP)$ có dạng $\overrightarrow{SM}+\lambda (\overrightarrow{SN}-\overrightarrow{SM})+\mu (\overrightarrow{SP}-\overrightarrow{SM})=\frac{1-\mu }{2}\vec{b}+\frac{\lambda }{2}\vec{c}+\frac{\mu }{2}\vec{d}$. Điểm trên đường SA có dạng $t(\vec{b}+\vec{d}-\vec{c})$. So sánh: $t=\lambda /2$, $t=\mu /2$, $t=(1-\mu )/2\Rightarrow \lambda =\mu =2t$ và $2t=1-2t\Rightarrow t=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{SK}{SA}=\frac{1}{4}$ ⇒ mệnh đề a ĐÚNG.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác SBD, MP là đường trung bình nên MP ∥ BD. Vì MP ⊂ (MNP), BD ⊂ (ABCD) nên giao tuyến của (MNP) và (ABCD) là đường thẳng qua N song song với BD, do đó không cắt đường thẳng BD ⇒ mệnh đề b SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
MP nằm trong mặt phẳng (SBD) và MP ∥ BD; SC chỉ cắt mặt phẳng (SBD) tại S, mà MP không qua S, nên MP và SC chéo nhau, không cắt nhau ⇒ mệnh đề c ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(SAB) và (SBC) có chung điểm S và B nên giao tuyến là SB, không phải SA ⇒ mệnh đề d SAI.