Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ. Xét hàm số $g(x)=f(x^2-2)$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Ta có $g(x)=f(x^2-2)\Rightarrow g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)$.

Từ đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy:
- $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$;
- $f^{\prime }(x)>0\iff x>2$;
- $f^{\prime }(x)<0\iff x<2$ (với $x\ne -1$).

Xét $g^{\prime }(x)=0\iff 2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x^2-2=-1\\ & x^2-2=2\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pm 1\\ & x=\pm 2\end{array}$

Xét dấu $g^{\prime }(x)$ trên khoảng $(-1;0)$:
- Với $x\in (-1;0)\Rightarrow x<0$.
- $x\in (-1;0)\Rightarrow x^2\in (0;1)\Rightarrow x^2-2\in (-2;-1)<2$, do đó $f^{\prime }(x^2-2)<0$.
- Suy ra $g^{\prime }(x)=2x\cdot f^{\prime }(x^2-2)>0$ với mọi $x\in (-1;0)$ (tích của hai số âm là số dương).

Do đó, hàm số $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(-1;0)$. Khẳng định "$g(x)$ nghịch biến trên $(-1;0)$" là sai.