Cho hàm số $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f(x)=6x^2-4x+1$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F(1)=5$ và $G(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=6x^2-4x+1$ là $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$. Do đó $F(x)=2x^3-2x^2+x+C_1$, $G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$. Từ $F(1)=1+C_1=5$ suy ra $C_1=4$; từ $G(0)=C_2=2$ suy ra $C_2=2$. a) Đúng theo công thức nguyên hàm. b) $G(1)=1+2=3\ne 5$ nên sai. c) $F(x)-G(x)=C_1-C_2=2\ne 3$ nên sai. d) $|F(x)-G(x)|=2$ với mọi $x$, diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2\cdot 7=14$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $(2x^3-2x^2+x{)}^{\prime }=6x^2-4x+1=f(x)$ nên $\int f(x)\mathrm{d}x=2x^3-2x^2+x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G(x)=2x^3-2x^2+x+C_2$ với $G(0)=C_2=2$, nên $G(1)=2-2+1+2=3\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nguyên hàm của cùng một hàm số sai khác một hằng số: $F(x)-G(x)=C_1-C_2=4-2=2\ne 3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;8]$, $|F(x)-G(x)|=2$ nên diện tích $={\int }_1^{8}2\mathrm{d}x=2(8-1)=14$.