Cho hàm số $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-1;0)$ thì $f^{\prime }(x)<0$, trên $(0;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$. → Sai.

b) Vì $f(x)-\left(x+1\right)=\frac{1}{x+1}\to 0$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận xiên là $y=x+1$. → Đúng.

c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$; với $x\in (-1;0)$ hàm nghịch biến, $x\in (0;+\infty )$ hàm đồng biến nên $x=0$ là điểm cực tiểu, $f(0)=2$, điểm cực tiểu $(0;2)$. → Đúng.

d) Đặt $t=x+1\ne 0$, khi đó $f(x)=t+\frac{1}{t}$. Phương trình $\left|t+\frac{1}{t}\right|=5$:
- Với $t>0$: $t+\frac{1}{t}=5\iff t^2-5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt dương.
- Với $t<0$: $t+\frac{1}{t}=-5\iff t^2+5t+1=0$ có 2 nghiệm phân biệt âm.

Vậy tổng cộng 4 nghiệm phân biệt của $x$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ trên $(-1;0)$ nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{1}{x+1}$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$, hàm nghịch biến trên $(-1;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, $f(0)=2$ nên điểm cực tiểu là $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=x+1\ne 0$, $|t+1/t|=5$ cho 2 nghiệm dương và 2 nghiệm âm của $t$, tức 4 nghiệm phân biệt của $x$.