Cho hàm số $f(x)=|x^4-4x^3+4x^2+a|$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0;2]$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $[-3;3]$ sao cho $M\le 2m$?

Xét $u(x)=x^4-4x^3+4x^2=x^2(x-2{)}^2$ trên đoạn $[0;2]$.
Ta có $u^{\prime }(x)=4x(x-1)(x-2)$. Trên $[0;2]$, $u^{\prime }(x)=0⟺x=0,x=1,x=2$.
Giá trị: $u(0)=0,u(1)=1,u(2)=0$. Suy ra $0\le u(x)\le 1$.
Đặt $t=u(x)\in [0;1]$, ta xét $g(t)=|t+a|$ trên $[0;1]$.
- Trường hợp 1: $a\ge 0$.
Khi đó $t+a\ge 0$, nên $g(t)=t+a$.
Giá trị nhỏ nhất $m=a$, giá trị lớn nhất $M=a+1$.
Điều kiện $M\le 2m⟺a+1\le 2a⟺a\ge 1$.
Kết hợp $a\in [-3;3]\cap \mathbb{Z}⟹a\in \{1;2;3\}$ ($3$ giá trị).
- Trường hợp 2: $a+1\le 0⟺a\le -1$.
Khi đó $t+a\le 0$, nên $g(t)=-(t+a)=-t-a$.
Giá trị nhỏ nhất $m=-1-a$, giá trị lớn nhất $M=-a$.
Điều kiện $M\le 2m⟺-a\le 2(-1-a)⟺a\le -2$.
Kết hợp $a\in [-3;3]\cap \mathbb{Z}⟹a\in \{-3;-2\}$ ($2$ giá trị).
- Trường hợp 3: $-1<a<0$.
Khi đó biểu thức $t+a$ đổi dấu trên $[0;1]$, suy ra $m=0$.
Để $M\le 2m=0$ thì $M=0$ (vô lý vì $M>0$).
Vậy có tổng cộng $3+2=5$ số nguyên $a$ thỏa mãn: $a\in \{-3;-2;1;2;3\}$.
Chọn đáp án A.