Trong các số phức $z$ thỏa mãn $|z^2+1|=2|z|$. Gọi $z_1$ và $z_2$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Khi đó môđun của số phức $w=z_1+z_2$ là

Đặt $R=|z|\ge 0$. Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
$|R^2-1|\le |z^2+1|\le R^2+1$.
Theo giả thiết $|z^2+1|=2|z|=2R$, ta có:
$|R^2-1|\le 2R⟺-2R\le R^2-1\le 2R$.
- Từ $R^2-2R-1\le 0⟹R\le 1+\sqrt{2}$.
- Từ $R^2+2R-1\ge 0⟹R\ge \sqrt{2}-1$ (do $R\ge 0$).
Do đó $|z_{\min }|=\sqrt{2}-1$ và $|z_{\max }|=\sqrt{2}+1$.
Dấu bằng xảy ra khi $z^2=-R^2$, tức $z$ là số thuần ảo: $z=\pm iR$.
Khi đó $z_1=i(\sqrt{2}-1)$ và $z_2=i(\sqrt{2}+1)$:
$w=z_1+z_2=2\sqrt{2}i⟹|w|=2\sqrt{2}$.
Chọn đáp án A.