Cho hàm số $f(x)=x^5+3x^3-4m$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f\left(\sqrt[3]{f(x)+m}\right)=x^3-m$ có nghiệm thuộc $[1;2]$?

Đặt $u=\sqrt[3]{f(x)+m}⟹u^3=f(x)+m⟹f(x)=u^3-m$.
Phương trình ban đầu trở thành $f(u)=x^3-m$.
Ta có hệ đối xứng:
$\{\begin{array}{l}f(u)=x^3-m\\ f(x)=u^3-m\end{array}⟹f(u)-f(x)=x^3-u^3⟺f(u)+u^3=f(x)+x^3$.
Xét hàm số $g(t)=f(t)+t^3=t^5+3t^3-4m+t^3=t^5+4t^3-4m$.
Đạo hàm $g^{\prime }(t)=5t^4+12t^2>0$ với mọi $t>0$, do đó $g(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra $g(u)=g(x)⟺u=x$.
Khi đó: $\sqrt[3]{f(x)+m}=x⟺f(x)+m=x^3$
$⟺x^5+3x^3-4m+m=x^3⟺x^5+2x^3=3m$.
Xét hàm số $h(x)=x^5+2x^3$ trên đoạn $[1;2]$:
$h^{\prime }(x)=5x^4+6x^2>0,\forall x\in [1;2]⟹h(x)$ đồng biến trên $[1;2]$.
Do đó ${\min }_{[1;2]}h(x)=h(1)=3$ và ${\max }_{[1;2]}h(x)=h(2)=2^5+2\cdot 2^3=32+16=48$.
Phương trình có nghiệm thuộc $[1;2]⟺3\le 3m\le 48⟺1\le m\le 16$.
Vì $m$ nguyên nên $m\in \{1;2;3;\dots ;16\}$. Có 16 giá trị nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn B.