Cho hàm số $f(x)=\ln \left(\frac{x}{x+2}\right)$. Tổng $f^{\prime }(1)+f^{\prime }(3)+f^{\prime }(5)+\dots +f^{\prime }(2025)=\frac{a}{b}$

Tính $\frac{a+1}{b}$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}=\frac{2}{x(x+2)}$. Tổng các số lẻ từ 1 đến 2025 gồm 1013 số hạng. Khi cộng, các số hạng trùng khớp triệt tiêu (kiểu telescoping): $\left(1+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2025}\right)-\left(\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2025}+\frac{1}{2027}\right)=1-\frac{1}{2027}=\frac{2026}{2027}$. Vậy $a=2026,b=2027$, nên $\frac{a+1}{b}=\frac{2027}{2027}=1$, khớp với đáp án nguồn.