Cho hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$.

a) Xét hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$ trên $\mathbb{R}$, ta có: $f^{\prime }(x)=9^x\ln 9-8.3^x.\ln 3,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 9^x.\ln 9-8.3^x.\ln 3=0\iff 9^x.2\ln 3-8.3^x.\ln 3=0\iff 2.9^x-8.3^x=0$$
$$\iff 2.3^x\left(3^x-4\right)=0\iff [\begin{array}{l}{3}^x=0\\ 3^x-4=0\end{array}\iff 3^x=4\iff x={\log }_{3}4$$
Vậy b) sai.
c) Ta có: $f\left({\log }_{3}4\right)=9^{{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=3^{2{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=4^2-8.4=-16$. Vậy c) đúng.
d) Với $x\in [0;1]$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=2\ln 3.3^x\left(3^x-4\right)<0,\forall x\in [0;1]$$
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[0;1]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;1]$ là $f(1)=9-8.3=-15$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b sai | c đúng | d sai
a) Xét hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$ trên $\mathbb{R}$, ta có: $f^{\prime }(x)=9^x\ln 9-8.3^x.\ln 3,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 9^x.\ln 9-8.3^x.\ln 3=0\iff 9^x.2\ln 3-8.3^x.\ln 3=0\iff 2.9^x-8.3^x=0$$
$$\iff 2.3^x\left(3^x-4\right)=0\iff [\begin{array}{l}{3}^x=0\\ 3^x-4=0\end{array}\iff 3^x=4\iff x={\log }_{3}4$$
Vậy b) sai.
c) Ta có: $f\left({\log }_{3}4\right)=9^{{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=3^{2{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=4^2-8.4=-16$. Vậy c) đúng.
d) Với $x\in [0;1]$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=2\ln 3.3^x\left(3^x-4\right)<0,\forall x\in [0;1]$$
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[0;1]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;1]$ là $f(1)=9-8.3=-15$. Vậy d) sai.