Cho hàm số $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $(a\ne 0)$ thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$, ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $[0;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$ (đúng theo định lý Newton-Leibniz). $F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên nếu $F(0)=3$ thì $F(2)=1\ne 5$ (sai). Nguyên hàm của $f(x)=a{x}^2+bx+c$ là $\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$, khẳng định c) đúng (với hằng số $C$ tùy ý). Về d): từ hai điều kiện ${\int }_0^{1}f=-\frac{7}{2}$ và ${\int }_0^{2}f=-2$ chỉ có 2 phương trình cho 3 ẩn $a,b,c$ nên không xác định được $f$, do đó không thể kết luận diện tích bằng 2; nói chung ${\int }_0^2|f(x)|dx\ne {\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ khi $f$ đổi dấu, nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ nên $F(2)=3-2=1\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f(x)dx=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$; khẳng định đúng (bỏ qua hằng số $C$ tùy ý).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điều kiện chỉ cho 2 phương trình với 3 ẩn $a,b,c$ nên $f$ không xác định duy nhất; hơn nữa diện tích là ${\int }_0^2|f(x)|dx$ chứ không phải ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên không thể kết luận diện tích bằng 2.