Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+1$ có đồ thị là $(C)$.

a) Tính $y^{\prime }$.

b) Giải phương trình $y^{\prime }=0$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: $y=3x-8$

a) Tính $y^{\prime }=x^2-2x$ (0,5 điểm).

b) Giải pt $y^{\prime }=0\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\\ x=2\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

c) Do TT song song với d: $y=3x+10\Rightarrow k=3$

Hệ số góc của TT: $k=3\iff y^{\prime }=3\iff x^2-2x=-3\iff x^2-2x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=3\end{array}\right]$ (0,25 điểm).

TH1: $x_0=-1\Rightarrow y_0=y(-1)=-\frac{1}{3}$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+\frac{1}{3}=3(x+1)$

$\iff y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

TH2: $x_0=3\Rightarrow y_0=y(3)=1$; $(k=3)$

$\Rightarrow$ PTTT: $y+1=3(x-3)$

$\iff y=3x-8$ (loại).

KL: Có 1 TT song song với d là $y=3x+\frac{8}{3}$ (0,25 điểm).

Lưu ý: Lời giải nguồn giữ nguyên theo bản gốc; có dấu hiệu sai toán học (phương trình $x^2-2x+3=0$ vô nghiệm trên $\mathbb{R}$ nhưng lời giải kết luận $x=-1$ hoặc $x=3$; giá trị $y(-1)$ không khớp hàm số) và đề bài ghi đường thẳng d: $y=3x-8$ trong khi lời giải ghi d: $y=3x+10$.