Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N(t)=100e^{0,012t}$, $0\le t\le 50$, $t$ tính từ năm 2023.
a) Năm 2030: $t=7$, $N(7)=100e^{0,084}\approx 108,763$ triệu người → đúng.
b) Năm 2035: $t=12$, $N(12)=100e^{0,144}\approx 115,488$ triệu người, không phải 125,488 → sai.
c) $N^{\prime }(t)=1,2e^{0,012t}>0$ với mọi $t$, nên $N(t)$ đồng biến trên $[0;50]$ → đúng.
d) Năm 2040: $t=17$, $N^{\prime }(17)=1,2e^{0,204}\approx 1,4715\approx 1,47$ triệu người/năm, không phải 1,6 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Năm 2030 ứng với $t=7$: $N(7)=100e^{0,084}\approx 108,763$ triệu người.
b) (AI giải đề cho tôi)
Năm 2035 ứng với $t=12$: $N(12)=100e^{0,144}\approx 115,488$ triệu người, không phải 125,488.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(t)=1,2e^{0,012t}>0$ với mọi $t\in [0;50]$ nên hàm số đồng biến trên đoạn này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Năm 2040 ứng với $t=17$: $N^{\prime }(17)=1,2e^{0,204}\approx 1,47$ triệu người/năm, không phải 1,6.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos 2x$ là hàm hợp với $u=2x$. Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $y^{\prime }=(\cos 2x{)}^{\prime }=-\sin 2x\cdot (2x{)}^{\prime }=-2\sin 2x$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ thay đổi của huyết áp là đạo hàm P'(t). Với $P(t)=\frac{25t^2+125}{t^2+1}$, theo quy tắc thương: $$P^{\prime }(t)=\frac{50t(t^2+1)-(25t^2+125)\cdot 2t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{50t^3+50t-50t^3-250t}{(t^2+1{)}^2}=\frac{-200t}{(t^2+1{)}^2}.$$ Tại $t=5$: $$P^{\prime }(5)=\frac{-200\cdot 5}{(25+1{)}^2}=\frac{-1000}{676}=-\frac{250}{169}\text{(mmHg/giaˆy)}.$$ Dấu âm cho thấy huyết áp đang giảm; tốc độ (độ lớn) thay đổi là $\frac{250}{169}$ mmHg/giây. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí biên là đạo hàm của hàm chi phí: $C^{\prime }(x)=0,2x+0,3$. Tại $x=120$: $C^{\prime }(120)=0,2\cdot 120+0,3=24+0,3=24,3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$. Yêu cầu $N^{\prime }(t)=1,6$ nên $e^{0,012t}=\frac{4}{3}$, suy ra $t=\frac{\ln (4/3)}{0,012}\approx \frac{0,287682}{0,012}\approx 23,97\approx 24$. Vậy vào năm $2023+24=2047$ tốc độ tăng dân số đạt 1,6 triệu người/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$. Do đó $f^{\prime }(3)=\frac{3}{(3+1{)}^2}=\frac{3}{16}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $x$ là $y^{\prime }=-3x^2+6x+9=-3(x-1{)}^2+12\le 12$, đạt max bằng 12 khi $x=1$. Vậy hệ số góc lớn nhất là 12, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=\frac{a}{b+1}=20$ suy ra $a=20(b+1)$. Có $P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{{\left(b+e^{-0,75t}\right)}^2}$, nên $P^{\prime }(0)=\frac{0,75a}{(b+1{)}^2}=10$. Thay $a=20(b+1)$: $\frac{15(b+1)}{(b+1{)}^2}=10\Rightarrow b+1=1,5\Rightarrow b=0,5$, $a=30$.

a) Đúng: theo đề bài $P(0)=20$, $P^{\prime }(0)=10$ (đã dùng làm điều kiện).

b) Sai: $3a+40b=90+20=110\ne 160$.

c) Sai: đặt $u=e^{-0,75t}>0$, $P^{\prime }=0,75a\cdot \frac{u}{(b+u{)}^2}$. Hàm $\frac{u}{(b+u{)}^2}$ đạt max tại $u=b$, giá trị max $=\frac{1}{4b}$. Vậy $P_{\max }^{\prime }=\frac{0,75a}{4b}=\frac{22,5}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.

d) Đúng: khi $u=b$ thì $P=\frac{a}{2b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết đề bài, tại $t=0$ quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng 10 tế bào/giờ, tức $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$ giải được $b=0,5$, $a=30$. Khi đó $3a+40b=90+20=110\ne 160$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{(b+e^{-0,75t}{)}^2}$ đạt max khi $e^{-0,75t}=b$, giá trị max $=\frac{0,75a}{4b}=\frac{0,75\cdot 30}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ sinh trưởng đạt max khi $e^{-0,75t}=b=0,5$, khi đó $P(t)=\frac{a}{b+b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ với $t$ là số năm kể từ tháng 01 năm 1970.

a) Tháng 01 năm 1980: $t=10$, $f(10)=\frac{260+10}{15}=\frac{270}{15}=18$ nghìn người → đúng.

b) Tháng 01 năm 2005: $t=35$, $f(35)=\frac{26\cdot 35+10}{40}=\frac{920}{40}=23$ nghìn người, không phải 24 → sai.

c) Tháng 01 năm 1995: $t=25$, $f(25)=\frac{660}{30}=22$; tháng 01 năm 2025: $t=55$, $f(55)=\frac{1440}{60}=24$. Số dân tăng $24-22=2$ nghìn người → đúng.

d) $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}$. Tháng 01 năm 1998: $t=28$, $f^{\prime }(28)=\frac{120}{33^2}=\frac{120}{1089}\approx 0,1102$ nghìn người/năm $\ne 0,125$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
t=10: f(10)=270/15=18 nghìn người.
b) (AI giải đề cho tôi)
t=35: f(35)=920/40=23 nghìn người, không phải 24.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(25)=22, f(55)=24, tăng 2 nghìn người.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(t)=120/(t+5)^2; tại t=28: f'(28)=120/1089≈0,1102 nghìn người/năm ≠ 0,125.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm huyết áp $P(t)=115+20\sin (180\pi t)$ (mmHg), $t$ tính theo phút.

a) Huyết áp tối đa $=115+20=135$, tối thiểu $=115-20=95$ nên chỉ số huyết áp là $135/95$. Đúng.

b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{180\pi }=\frac{1}{90}$ phút, tức mỗi phút có 90 nhịp tim. Trong một giờ huyết áp tâm thu xảy ra $90\times 60=5400$ lần, không phải 5000. Sai.

c) $P^{\prime }(t)=20\cdot 180\pi \cos (180\pi t)=3600\pi \cos (180\pi t)$ (mmHg/phút). Đúng.

d) $P^{\prime }(t)=1800\pi \iff \cos (180\pi t)=\frac{1}{2}\iff 180\pi t=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$. Trong mỗi chu kỳ có 4 nghiệm, nên trong một phút có $4\times 90=360$ lần, không phải 180. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P_max = 115+20 = 135, P_min = 115-20 = 95, nên chỉ số huyết áp là 135/95.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ T = 2π/(180π) = 1/90 phút, mỗi phút 90 nhịp; trong một giờ tâm thu xảy ra 90×60 = 5400 lần ≠ 5000.
c) (AI giải đề cho tôi)
P'(t) = 20·180π·cos(180πt) = 3600π·cos(180πt) (mmHg/phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
P'(t)=1800π ⇔ cos(180πt)=1/2 ⇔ 180πt = ±π/3 + 2kπ: 4 nghiệm mỗi chu kỳ, nên trong một phút có 4×90 = 360 lần ≠ 180.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ gia tăng dân số là $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$ (triệu người/năm). Yêu cầu $N^{\prime }(t)>2$ tức $e^{0,012t}>\frac{5}{3}$, suy ra $t>\frac{\ln (5/3)}{0,012}\approx \frac{0,5108}{0,012}\approx 42,57$. Vậy sau ít nhất 43 năm (kết quả khớp với đáp án nguồn 43).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+3$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25-6\cdot 5+3=75-30+3=48$ (m/s). Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=S^{\prime }(t)=12t-3t^2=-3t^2+12t$ (m/s). Đây là hàm bậc hai với $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=-\frac{12}{2(-3)}=2$ (s). Khi đó $v(2)=12(2)-3(4)=12$ m/s. Vậy vận tốc đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t=2$ giây, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-18t+24$.
a) $v(3)=27-54+24=-3m/s$ → Đúng.
b) $s(t)=41\iff t^3-9t^2+24t-36=0$; thử $t=6$: $216-324+144-36=0$, nên $t=6$; khi đó $v(6)=108-108+24=24m/s$ → Đúng.
c) $v^{\prime }(t)=6t-18=0\iff t=3$; $v(3)=-3$ là vận tốc nhỏ nhất (vì $v$ giảm trên $(0;3)$ và tăng sau đó), không phải $-5m/s$ → Sai.
d) Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-18$; tại $t=3$ (thời điểm vận tốc nhỏ nhất) thì $a=0m/s^2$, không phải $2m/s^2$ → Sai.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai, khớp bảng hướng dẫn chấm (ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
v(3)=3·9-18·3+24=-3 m/s.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=41 ⇔ t^3-9t^2+24t-36=0 có nghiệm t=6; v(6)=24 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
v'(t)=6t-18=0 tại t=3; v(3)=-3 m/s là vận tốc nhỏ nhất, không phải -5 m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=6t-18; tại t=3 thì a=0 m/s^2, không phải 2 m/s^2.

a) Sai: $f(13)=45\cdot 13^2-13^3=5408$ người.
b) Sai: $f^{\prime }(t)=0\iff 90t-3t^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=30\\ t=0\end{array}$; bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ tăng từ 0 đến 13500 tại $t=30$ rồi giảm ($f(35)=12250$), nên trong 30 ngày đầu tiên số người nhiễm bệnh luôn tăng.
c) Đúng: đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
d) Đúng: $f^{\prime }(t)=90t-3t^2$.
a) Sai. Số người nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là: $f(13)=45\cdot 13^2-13^3=5408$ người.
b) Sai. Ta có: $f^{\prime }(t)=0\iff 90t-3t^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=30\\ t=0\end{array}$. Lập bảng biến thiên với $t$: 0, 30, 35, 45, $+\infty$; $f^{\prime }(t)$: 0, $+$, 0, $-$; $f(t)$ tăng từ 0 đến 13500 tại $t=30$ rồi giảm, $f(35)=12250$, $f(45)=0$. Từ bảng biến thiên ta thấy, trong 30 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
c) Đúng. Từ bảng biến thiên ta thấy, đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh ($f(45)=0$).
d) Đúng. Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$ là $f^{\prime }(t)=90t-3t^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=3^x.ln x. a) Do có ln x nên điều kiện x>0, tập xác định D=(0;+∞), không phải R → ý a SAI. b) f'(x)=3^x ln3.ln x + 3^x/x = 3^x(ln3.ln x + 1/x); đáp án thiếu hệ số ln3 → ý b SAI. c) Với x>3 thì ln x>0 và 1/x>0 nên f'(x)=3^x(ln3.ln x+1/x)>0, hàm đồng biến trên (3;+∞) → ý c ĐÚNG. d) Bất phương trình 3^{y^2−|x|/3} ≤ log_{y^2+3}(|x|/3+3). Cơ số y^2+3 ≥ 3 > 1 với mọi số nguyên y. So sánh: nếu |x| ≥ 3y^2 thì y^2−|x|/3 ≤ 0 nên vế trái ≤ 1, đồng thời |x|/3+3 ≥ y^2+3 nên vế phải ≥ 1; khi |x| > 3y^2 vế trái < 1 < vế phải (thỏa), khi |x| = 3y^2 cả hai vế bằng 1 (thỏa). Nếu |x| < 3y^2 thì vế trái > 1 > vế phải (không thỏa). Vậy bất phương trình thỏa ⇔ |x| ≥ 3y^2. Với mỗi x nguyên: y=0 luôn thỏa; y=±1 thỏa khi |x| ≥ 3; y=±2 thỏa khi |x| ≥ 12. Cần đúng 3 giá trị y → chỉ y=0,±1 thỏa, tức 3 ≤ |x| < 12, cho |x| ∈ {3,4,...,11} (9 giá trị), mỗi giá trị cho 2 số nguyên x=±a (x≠0 vì |x|≥3). Tổng cộng 9×2 = 18 số nguyên x → ý d ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a S, b S, c D, d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chứa ln x nên yêu cầu x>0; tập xác định D=(0;+∞), không phải R.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(3^x ln3).ln x + 3^x·(1/x) = 3^x(ln3·ln x + 1/x). Đáp án trong ý b thiếu hệ số ln3 nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x>3: ln x>0, 1/x>0 nên f'(x)=3^x(ln3·ln x+1/x)>0, hàm số đồng biến trên (3;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số y^2+3 ≥ 3 > 1. Bất phương trình thỏa ⇔ |x| ≥ 3y^2 (khi đó vế trái ≤ 1 ≤ vế phải; nếu |x|<3y^2 thì vế trái >1>vế phải). y=0 luôn thỏa; y=±1 thỏa khi |x|≥3; y=±2 thỏa khi |x|≥12. Đúng 3 giá trị y ⇔ 3 ≤ |x| < 12, tức |x|∈{3,...,11}: 9 giá trị, mỗi giá trị cho 2 số nguyên x → 18 số nguyên x.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3-27x+8$.
a) $f^{\prime }(x)=3x^2-27$: đúng.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff 3x^2-27=0\iff x=\pm 3$, nên $S=\{-3;3\}$, không phải $\{3\}$: sai.
c) $f(3)=27-81+8=-46$: đúng.
d) Trên $[-4;4]$: $f(-4)=-64+108+8=52$, $f(4)=64-108+8=-36$, $f(-3)=-27+81+8=62$, $f(3)=-46$. Giá trị lớn nhất là $f(-3)=62$, không phải $-46$: sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1001: 2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-27$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=\pm 3$, tập nghiệm là $S=\{-3;3\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(3)=27-81+8=-46$.
d) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $f(-4)=52$, $f(4)=-36$, $f(-3)=62$, $f(3)=-46$: GTLN trên $[-4;4]$ là $62$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của độ cao theo thời gian: $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324$. Tại $t=2$: $h^{\prime }(2)=18\cdot 4-162\cdot 2+324=72-324+324=72$ (m/phút). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2039 tương ứng $t=2039-2024=15$. Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,013\cdot e^{0,013t}=1,3e^{0,013t}$. Vậy $N^{\prime }(15)=1,3e^{0,195}\approx 1,3\cdot 1,21532\approx 1,5799\approx 1,58$ triệu người/năm.