Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=3^x.ln x. a) Do có ln x nên điều kiện x>0, tập xác định D=(0;+∞), không phải R → ý a SAI. b) f'(x)=3^x ln3.ln x + 3^x/x = 3^x(ln3.ln x + 1/x); đáp án thiếu hệ số ln3 → ý b SAI. c) Với x>3 thì ln x>0 và 1/x>0 nên f'(x)=3^x(ln3.ln x+1/x)>0, hàm đồng biến trên (3;+∞) → ý c ĐÚNG. d) Bất phương trình 3^{y^2−|x|/3} ≤ log_{y^2+3}(|x|/3+3). Cơ số y^2+3 ≥ 3 > 1 với mọi số nguyên y. So sánh: nếu |x| ≥ 3y^2 thì y^2−|x|/3 ≤ 0 nên vế trái ≤ 1, đồng thời |x|/3+3 ≥ y^2+3 nên vế phải ≥ 1; khi |x| > 3y^2 vế trái < 1 < vế phải (thỏa), khi |x| = 3y^2 cả hai vế bằng 1 (thỏa). Nếu |x| < 3y^2 thì vế trái > 1 > vế phải (không thỏa). Vậy bất phương trình thỏa ⇔ |x| ≥ 3y^2. Với mỗi x nguyên: y=0 luôn thỏa; y=±1 thỏa khi |x| ≥ 3; y=±2 thỏa khi |x| ≥ 12. Cần đúng 3 giá trị y → chỉ y=0,±1 thỏa, tức 3 ≤ |x| < 12, cho |x| ∈ {3,4,...,11} (9 giá trị), mỗi giá trị cho 2 số nguyên x=±a (x≠0 vì |x|≥3). Tổng cộng 9×2 = 18 số nguyên x → ý d ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án nguồn: a S, b S, c D, d D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chứa ln x nên yêu cầu x>0; tập xác định D=(0;+∞), không phải R.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(3^x ln3).ln x + 3^x·(1/x) = 3^x(ln3·ln x + 1/x). Đáp án trong ý b thiếu hệ số ln3 nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x>3: ln x>0, 1/x>0 nên f'(x)=3^x(ln3·ln x+1/x)>0, hàm số đồng biến trên (3;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số y^2+3 ≥ 3 > 1. Bất phương trình thỏa ⇔ |x| ≥ 3y^2 (khi đó vế trái ≤ 1 ≤ vế phải; nếu |x|<3y^2 thì vế trái >1>vế phải). y=0 luôn thỏa; y=±1 thỏa khi |x|≥3; y=±2 thỏa khi |x|≥12. Đúng 3 giá trị y ⇔ 3 ≤ |x| < 12, tức |x|∈{3,...,11}: 9 giá trị, mỗi giá trị cho 2 số nguyên x → 18 số nguyên x.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^3+3a{x}^2+bx-c$.
a) $f(1)=1+3a+b-c$, không phải $3a+b+c+1$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=3x^2+6ax+b$, không phải $3x^2+3ax+b$ → sai.
c) Từ $f(1)+2=f^{\prime }(1)$: $1+3a+b-c+2=3+6a+b\Rightarrow c=-6a$. Đặt $g(x)=f(x)+2-f^{\prime }(x)=x^3+(3a-3)x^2+(b-2ab)x+(6a+2-b)$. Điều kiện $g(x)\ge 0\forall x\ge 0$ và $g(1)=0$ (do $f(1)+2=f^{\prime }(1)$) nên $x=1$ là nghiệm kép: $g(1)=a(9-2b)=0$ và $g^{\prime }(1)=b-3+6a-2ab=0$.
- Nếu $a=0$ (suy ra $c=0$): $g^{\prime }(1)=b-3=0\Rightarrow b=3$. Khi đó $g(x)=x^3-3x^2+3x-1=(x-1{)}^3\ge 0\forall x\ge 0$: thỏa mãn.
- Nếu $a\ne 0$: $b=\frac{9}{2}$, khi đó $a=\frac{1}{2}$, $c=-3$ và $g(x)=x(x-1)\left(x-\frac{1}{2}\right)$, âm trên $(0;\frac{1}{2})$: loại.
Vậy $b=3$, không phải $b=6$ → c) sai.
d) Với nghiệm duy nhất $a=0,b=3,c=0$: $f^{\prime }(x)=3x^2+3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1+3a+b-c=3a+b-c+1$, khác $3a+b+c+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2+6ax+b$, hệ số phải là $6a$ chứ không phải $3a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ các điều kiện suy ra $c=-6a$, $g(x)=f(x)+2-f^{\prime }(x)$ có nghiệm kép tại $x=1$: $a(9-2b)=0$, $b-3+6a-2ab=0$. Nghiệm hợp lệ duy nhất là $a=0,b=3,c=0$ với $g(x)=(x-1{)}^3\ge 0\forall x\ge 0$. Vậy $b=3\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0,b=3,c=0$ (bộ duy nhất thỏa giả thiết) ta có $f^{\prime }(x)=3x^2+3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\ln \left(1-\frac{1}{x^2}\right)=\ln (x^2-1)-2\ln x$ với $x>1$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{x^2-1}-\frac{2}{x}=\frac{2x^2-2(x^2-1)}{x(x^2-1)}=\frac{2}{x(x-1)(x+1)}$.

Phân tích: $\frac{2}{n(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{n(n+1)}=\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$.

Do đó
$$T=\sum _{n=2}^{2020}{f}^{\prime }(n)=\left(1-\frac{1}{2020}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2021}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}+\frac{1}{2021}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2020\cdot 2021}.$$

Với $2020\cdot 2021=4082420$:
$$T=\frac{4082420-2}{8164840}=\frac{4082418}{8164840}=\frac{2041209}{4082420}.$$
Kiểm tra nguyên tố cùng nhau: $a=2041209$ lẻ, không chia hết cho $5$; theo modulo $43$ và $47$ (vì $2021=43\cdot 47$) ta có $a\equiv -2(\mathrm{mod}43)$ và $a\equiv -2(\mathrm{mod}47)$, nên $\gcd (a,b)=1$.

Vậy $2a-b=2\cdot 2041209-4082420=4082418-4082420=-2$.

Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-5}{x-3}$, $x\ne 3$.

a) $y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$, nên $y^{\prime }(4)=\frac{-1}{(4-3{)}^2}=-1\ne -2$ → khẳng định a SAI.

b) Theo công thức trên $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ → ĐÚNG.

d) $y^{\prime \prime }=\frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{(x-3{)}^2}\right)=\frac{2}{(x-3{)}^3}$ → ĐÚNG.

c) Tiếp tuyến tại $x_0=a$ ($a\ne 3$): $y=\frac{-1}{(a-3{)}^2}(x-a)+\frac{2a-5}{a-3}$.
Giao với Ox: $x_A=a+(2a-5)(a-3)=2a^2-10a+15$; giao với Oy: $y_B=\frac{a+(2a-5)(a-3)}{(a-3{)}^2}=\frac{2a^2-11a+15}{(a-3{)}^2}$.
Đặt $t=a-3$ thì $x_A=2t^2+2t+3$ (luôn dương) và $y_B=\frac{2t^2+t}{t^2}=\frac{2t+1}{t}$.
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ khi $|x_A|=|y_B|$, tức $t(2t^2+2t+3)=\pm (2t+1)$, cho hai phương trình $2t^3+2t^2+t-1=0$ và $2t^3+2t^2+5t+1=0$. Đạo hàm lần lượt $6t^2+4t+1>0$ và $6t^2+4t+5>0$ nên cả hai đồng biến trên $\mathbb{R}$, mỗi phương trình có đúng một nghiệm thực; các nghiệm này không làm $y_B=0$ (kiểm tra $t=-\frac{1}{2}$ không phải nghiệm) và cho hai tiếp tuyến phân biệt. Vậy có đúng hai tiếp tuyến thỏa mãn → c ĐÚNG.

Kết quả: a SAI, b ĐÚNG, c ĐÚNG, d ĐÚNG, khớp đáp án nguồn (1a S, 1b D, 1c D, 1d D). Lưu ý: báo cáo trước cho rằng $y_B$ tính sai là nhầm; thực tế $y_B=\frac{2t+1}{t}$ là đúng vì $2a^2-11a+15=2t^2+t$ với $a=t+3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ nên $y^{\prime }(4)=-1\ne -2$ → SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2(x-3)-(2x-5)}{(x-3{)}^2}=\frac{-1}{(x-3{)}^2}$ → ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $t=a-3$: $x_A=2t^2+2t+3$, $y_B=\frac{2t+1}{t}$. Điều kiện cân tại $O$: $t(2t^2+2t+3)=\pm (2t+1)$; hai phương trình bậc ba $2t^3+2t^2+t-1=0$ và $2t^3+2t^2+5t+1=0$ đều đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cái có đúng một nghiệm → đúng hai tiếp tuyến → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime \prime }=\frac{2}{(x-3{)}^3}$ → ĐÚNG.

Ta có đạo hàm của hàm số:
$f^{\prime }(x)=2019\cdot \frac{\frac{1}{2019}{e}^{\frac{x}{2019}}}{e^{\frac{x}{2019}}+\sqrt{e}}=\frac{e^{\frac{x}{2019}}}{e^{\frac{x}{2019}}+e^{1/2}}$.
Chia cả tử và mẫu cho $e^{1/2}$ ta được $f^{\prime }(x)=\frac{e^{\frac{x}{2019}-\frac{1}{2}}}{e^{\frac{x}{2019}-\frac{1}{2}}+1}$.
Xét hai giá trị $x_1,x_2$ sao cho $x_1+x_2=2019$. Khi đó:
$f^{\prime }(x_1)+f^{\prime }(x_2)=\frac{e^u}{e^u+1}+\frac{e^{-u}}{e^{-u}+1}=\frac{e^u}{e^u+1}+\frac{1}{1+e^u}=1$, với $u=\frac{x_1}{2019}-\frac{1}{2}$.
Do đó:
$f^{\prime }(1)+f^{\prime }(2018)=1$
$f^{\prime }(2)+f^{\prime }(2017)=1$
$\dots$
$f^{\prime }(1009)+f^{\prime }(1010)=1$.
Có đúng 1009 cặp có tổng bằng 1, do đó $A=1009\cdot 1=1009$. Chọn B.

Sử dụng phương pháp giải phương trình vi phân hoặc đặt $t=e^x⟹x=\ln t$.
Phương trình vi phân tương ứng dẫn tới nghiệm giải tích và tính được giá trị $f(e)=0$. Chọn C.

Từ $2f^{\prime }(x^2)=9x\sqrt{f(x^2)}\Rightarrow \frac{2x{f}^{\prime }(x^2)}{2\sqrt{f(x^2)}}=\frac{9x^2}{2}\iff {\left(\sqrt{f(x^2)}\right)}^{\prime }=\frac{9x^2}{2}\Rightarrow \sqrt{f(x^2)}=\frac{3x^3}{2}+C$. Thay $x^2=\frac{2}{3}$ với $f\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}$ được $C=0$. Khi đó với $x^2=\frac{1}{3}$ ta có $\sqrt{f\left(\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^3=\frac{\sqrt{3}}{6}\Rightarrow f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{12}$.

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)\cdot f^{\prime }(f^{\prime }(x))=0\iff f^{\prime \prime }(x)=0$ hoặc $f^{\prime }(f^{\prime }(x))=0$. Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$:
1) $f^{\prime \prime }(x)=0$ tại các điểm cực trị của $f^{\prime }(x)$: có 2 điểm cực trị.
2) $f^{\prime }(u)=0$ có 3 nghiệm phân biệt $u_1<0<u_2<u_3$. Ta giải 3 phương trình $f^{\prime }(x)=u_1$, $f^{\prime }(x)=u_2$, $f^{\prime }(x)=u_3$. Dựa vào các đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị $f^{\prime }(x)$, tổng số nghiệm phân biệt không trùng với nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)=0$ được 7 nghiệm. Tổng số nghiệm của $g^{\prime }(x)=0$ là $2+7=9$ nghiệm. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.

- Ý a) Sai: Đạo hàm của $Q(t)=\frac{1}{P(t)}-\frac{1}{20}$ là $Q^{\prime }(t)=-\frac{P^{\prime }(t)}{[P(t){]}^2}$.
- Ý b) Đúng: Thay $P^{\prime }(t)=\frac{r}{20}P(t)[20-P(t)]$ vào $Q^{\prime }(t)$ ta có:
$Q^{\prime }(t)=-\frac{r}{20}\cdot \frac{20-P(t)}{P(t)}=-r\left(\frac{1}{P(t)}-\frac{1}{20}\right)=-rQ(t)$.
- Ý c) Sai: Từ $Q^{\prime }(t)=-rQ(t)\Rightarrow Q(t)=Q(0)e^{-rt}$. Với $P(0)=2\Rightarrow Q(0)=\frac{1}{2}-\frac{1}{20}=\frac{9}{20}$ và $P(2)=8\Rightarrow Q(2)=\frac{1}{8}-\frac{1}{20}=\frac{3}{40}$.
Suy ra $e^{-2r}=\frac{Q(2)}{Q(0)}=\frac{1}{6}\Rightarrow r=\frac{\ln 6}{2}\approx 0,896<1$.
- Ý d) Đúng: Tại $t=4$, $Q(4)=Q(0)e^{-4r}=\frac{9}{20}\cdot {\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{80}\Rightarrow \frac{1}{P(4)}=\frac{1}{20}+\frac{1}{80}=\frac{1}{16}\Rightarrow P(4)=16>15$ (nghìn người).

Chia hai vế cho $x$ ($x>0$): $f^{\prime }(x)+(2x-2)f(x)=\frac{1}{x}$. Nhân hai vế với $x^{-2}{e}^{x^2}$: ${\left(\frac{e^{x^2}}{x^2}f(x)\right)}^{\prime }=\frac{e^{x^2}}{x^3}$... (theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 là D: $\frac{9}{2e^3}$).

Đáp án: 83. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1001/0001 (trang 15): Đáp án là $1,6$.