Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$. Yêu cầu $N^{\prime }(t)=1,6$ nên $e^{0,012t}=\frac{4}{3}$, suy ra $t=\frac{\ln (4/3)}{0,012}\approx \frac{0,287682}{0,012}\approx 23,97\approx 24$. Vậy vào năm $2023+24=2047$ tốc độ tăng dân số đạt 1,6 triệu người/năm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=\frac{a}{b+1}=20$ suy ra $a=20(b+1)$. Có $P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{{\left(b+e^{-0,75t}\right)}^2}$, nên $P^{\prime }(0)=\frac{0,75a}{(b+1{)}^2}=10$. Thay $a=20(b+1)$: $\frac{15(b+1)}{(b+1{)}^2}=10\Rightarrow b+1=1,5\Rightarrow b=0,5$, $a=30$.

a) Đúng: theo đề bài $P(0)=20$, $P^{\prime }(0)=10$ (đã dùng làm điều kiện).

b) Sai: $3a+40b=90+20=110\ne 160$.

c) Sai: đặt $u=e^{-0,75t}>0$, $P^{\prime }=0,75a\cdot \frac{u}{(b+u{)}^2}$. Hàm $\frac{u}{(b+u{)}^2}$ đạt max tại $u=b$, giá trị max $=\frac{1}{4b}$. Vậy $P_{\max }^{\prime }=\frac{0,75a}{4b}=\frac{22,5}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.

d) Đúng: khi $u=b$ thì $P=\frac{a}{2b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết đề bài, tại $t=0$ quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng 10 tế bào/giờ, tức $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$ giải được $b=0,5$, $a=30$. Khi đó $3a+40b=90+20=110\ne 160$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{(b+e^{-0,75t}{)}^2}$ đạt max khi $e^{-0,75t}=b$, giá trị max $=\frac{0,75a}{4b}=\frac{0,75\cdot 30}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ sinh trưởng đạt max khi $e^{-0,75t}=b=0,5$, khi đó $P(t)=\frac{a}{b+b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm huyết áp $P(t)=115+20\sin (180\pi t)$ (mmHg), $t$ tính theo phút.

a) Huyết áp tối đa $=115+20=135$, tối thiểu $=115-20=95$ nên chỉ số huyết áp là $135/95$. Đúng.

b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{180\pi }=\frac{1}{90}$ phút, tức mỗi phút có 90 nhịp tim. Trong một giờ huyết áp tâm thu xảy ra $90\times 60=5400$ lần, không phải 5000. Sai.

c) $P^{\prime }(t)=20\cdot 180\pi \cos (180\pi t)=3600\pi \cos (180\pi t)$ (mmHg/phút). Đúng.

d) $P^{\prime }(t)=1800\pi \iff \cos (180\pi t)=\frac{1}{2}\iff 180\pi t=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$. Trong mỗi chu kỳ có 4 nghiệm, nên trong một phút có $4\times 90=360$ lần, không phải 180. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
P_max = 115+20 = 135, P_min = 115-20 = 95, nên chỉ số huyết áp là 135/95.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ T = 2π/(180π) = 1/90 phút, mỗi phút 90 nhịp; trong một giờ tâm thu xảy ra 90×60 = 5400 lần ≠ 5000.
c) (AI giải đề cho tôi)
P'(t) = 20·180π·cos(180πt) = 3600π·cos(180πt) (mmHg/phút).
d) (AI giải đề cho tôi)
P'(t)=1800π ⇔ cos(180πt)=1/2 ⇔ 180πt = ±π/3 + 2kπ: 4 nghiệm mỗi chu kỳ, nên trong một phút có 4×90 = 360 lần ≠ 180.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ gia tăng dân số là $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$ (triệu người/năm). Yêu cầu $N^{\prime }(t)>2$ tức $e^{0,012t}>\frac{5}{3}$, suy ra $t>\frac{\ln (5/3)}{0,012}\approx \frac{0,5108}{0,012}\approx 42,57$. Vậy sau ít nhất 43 năm (kết quả khớp với đáp án nguồn 43).

a) Sai: $f(13)=45\cdot 13^2-13^3=5408$ người.
b) Sai: $f^{\prime }(t)=0\iff 90t-3t^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=30\\ t=0\end{array}$; bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ tăng từ 0 đến 13500 tại $t=30$ rồi giảm ($f(35)=12250$), nên trong 30 ngày đầu tiên số người nhiễm bệnh luôn tăng.
c) Đúng: đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh.
d) Đúng: $f^{\prime }(t)=90t-3t^2$.
a) Sai. Số người nhiễm bệnh từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ 13 là: $f(13)=45\cdot 13^2-13^3=5408$ người.
b) Sai. Ta có: $f^{\prime }(t)=0\iff 90t-3t^2=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=30\\ t=0\end{array}$. Lập bảng biến thiên với $t$: 0, 30, 35, 45, $+\infty$; $f^{\prime }(t)$: 0, $+$, 0, $-$; $f(t)$ tăng từ 0 đến 13500 tại $t=30$ rồi giảm, $f(35)=12250$, $f(45)=0$. Từ bảng biến thiên ta thấy, trong 30 ngày đầu tiên thì số người nhiễm bệnh luôn tăng.
c) Đúng. Từ bảng biến thiên ta thấy, đến ngày 45 thì không còn người nhiễm bệnh ($f(45)=0$).
d) Đúng. Tốc độ truyền bệnh tại thời điểm $t$ là $f^{\prime }(t)=90t-3t^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $s(t)=2^{\frac{t}{10}+1}-2$, ta có $v(t)=s^{\prime }(t)=2^{\frac{t}{10}+1}\cdot \ln 2\cdot \frac{1}{10}=\frac{\ln 2}{10}\cdot 2^{\frac{t}{10}+1}$ (m/s).

a) Sai. Đề thiếu hệ số $\frac{1}{10}$ từ đạo hàm hàm hợp: $v(t)=\frac{\ln 2}{10}\cdot 2^{\frac{t}{10}+1}$, không phải $2^{\frac{t}{10}+1}\ln 2$.

b) Sai. Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)={\left(\frac{\ln 2}{10}\right)}^2{2}^{\frac{t}{10}+1}$ không phải hằng số (tăng theo $t$), nên hạt chuyển động nhanh dần nhưng không nhanh dần đều.

c) Sai. Tại $t=120$ giây: $s(120)=2^{13}-2=8190$ m $=8,19$ km $<8,5$ km.

d) Sai. Cần giải $\frac{\ln 2}{10}\cdot 2^{\frac{t}{10}+1}=3\cdot 10^{7,5}\approx 9,49\cdot 10^7$. Khi đó $2^{\frac{t}{10}+1}=\frac{10\cdot 3\cdot 10^{7,5}}{\ln 2}\approx 1,369\cdot 10^9$, suy ra $\frac{t}{10}+1={\log }_2(1,369\cdot 10^9)\approx 30,35$, tức $t\approx 293,5$ giây $\approx 4,89$ phút $<5$ phút. Vậy hạt đạt vận tốc đó trước 5 phút, khẳng định 'mất ít nhất 5 phút' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=\frac{\ln 2}{10}\cdot 2^{\frac{t}{10}+1}$, thiếu hệ số $1/10$ nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)={\left(\frac{\ln 2}{10}\right)}^2{2}^{\frac{t}{10}+1}$ không phải hằng số, nên không phải chuyển động nhanh dần đều.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s(120)=2^{13}-2=8190m=8,19km<8,5km$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $v(t)=3\cdot 10^{7,5}$ được $t\approx 293,5s\approx 4,89$ phút $<5$ phút, nên khẳng định 'mất ít nhất 5 phút' là sai.

a) Xét hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$ trên $\mathbb{R}$, ta có: $f^{\prime }(x)=9^x\ln 9-8.3^x.\ln 3,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 9^x.\ln 9-8.3^x.\ln 3=0\iff 9^x.2\ln 3-8.3^x.\ln 3=0\iff 2.9^x-8.3^x=0$$
$$\iff 2.3^x\left(3^x-4\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>3^x=0</td></tr><tr><td>3^x-4=0</td></tr></tbody></table>\iff 3^x=4\iff x={\log }_{3}4$$
Vậy b) sai.
c) Ta có: $f\left({\log }_{3}4\right)=9^{{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=3^{2{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=4^2-8.4=-16$. Vậy c) đúng.
d) Với $x\in [0;1]$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=2\ln 3.3^x\left(3^x-4\right)<0,\forall x\in [0;1]$$
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[0;1]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;1]$ là $f(1)=9-8.3=-15$. Vậy d) sai.
Chọn đáp án a đúng | b sai | c đúng | d sai
a) Xét hàm số $f(x)=9^x-8.3^x$ trên $\mathbb{R}$, ta có: $f^{\prime }(x)=9^x\ln 9-8.3^x.\ln 3,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy a) đúng.
b) Xét phương trình:
$$f^{\prime }(x)=0\iff 9^x.\ln 9-8.3^x.\ln 3=0\iff 9^x.2\ln 3-8.3^x.\ln 3=0\iff 2.9^x-8.3^x=0$$
$$\iff 2.3^x\left(3^x-4\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>3^x=0</td></tr><tr><td>3^x-4=0</td></tr></tbody></table>\iff 3^x=4\iff x={\log }_{3}4$$
Vậy b) sai.
c) Ta có: $f\left({\log }_{3}4\right)=9^{{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=3^{2{\log }_{3}4}-8.3^{{\log }_{3}4}=4^2-8.4=-16$. Vậy c) đúng.
d) Với $x\in [0;1]$, ta có:
$$f^{\prime }(x)=2\ln 3.3^x\left(3^x-4\right)<0,\forall x\in [0;1]$$
Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $[0;1]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên $[0;1]$ là $f(1)=9-8.3=-15$. Vậy d) sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 xấp xỉ chi phí biên tại $x=100$: $C^{\prime }(x)=50-x+0,00525x^2$. Với $x=100$: $C^{\prime }(100)=50-100+0,00525\cdot 10000=50-100+52,5=2,5$ (trăm nghìn đồng). Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2022, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là $v(t)=s^{\prime }(t)$. Với $s(t)=e^{t^2+3}+2t{e}^{3t+1}$, ta có $s^{\prime }(t)=2t{e}^{t^2+3}+2e^{3t+1}+6t{e}^{3t+1}$. Tại $t=1$: $v(1)=2e^4+2e^4+6e^4=10e^4\approx 545,982$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $546$ (km/s).

Chọn A. Ta có $h^{\prime }\left(x\right)=\frac{f^{\prime }\left(x\right).x-f\left(x\right)}{x^2}$. Theo yêu cầu bài toán phải tìm $h^{\prime }(3)$. Từ đồ thị suy ra $f^{\prime }(3)=-\tan \alpha =-\frac{1}{4}$ và $f(3)=-1$. Suy ra hệ số góc tiếp tuyến $k=h^{\prime }(3)=\frac{f^{\prime }(3).3-f(3)}{3^2}=\frac{1}{36}$.

a) Đúng: Với mọi số thực $a>0$, ta có $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$. b) Đúng: $f^{\prime }(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x-8}>18\ln 3\iff 3^{2x-8}>9\iff x>5$. c) Sai: $y^{\prime }=\sin 2x=0\iff x=k\frac{\pi }{2}$, với $-3\le k\le 2$, $k\in \mathbb{Z}$, có 6 nghiệm. d) Sai: Phương trình tương đương $(\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$; với $x\in \left(0;\frac{\pi }{3}\right)$ thì $\cos 2x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$ nên $S=\left(-\frac{1}{2};1\right)$, suy ra $2a+b=0$.
a) Mệnh đề đúng vì với mọi số thực $a>0$, ta có $\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$.
b) Mệnh đề đúng vì ta có $f^{\prime }(x)=2\ln 3\cdot 3^{2x-8}\Rightarrow f^{\prime }(x)>18\ln 3\iff 2\ln 3\cdot 3^{2x-8}>18\ln 3\iff 3^{2x-8}>9\iff 2x-8>2\iff x>5$.
c) Mệnh đề sai vì ta có $y^{\prime }=2\sin x.\cos x=\sin 2x$. Suy ra: $y^{\prime }=0\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=k\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$. Mà $x\in \left[-\frac{3\pi }{2};\pi \right]$ nên $-\frac{3\pi }{2}\le k\frac{\pi }{2}\le \pi \iff -3\le k\le 2$. Và $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{-3;-2;-1;0;1;2\}$. Vậy có 6 nghiệm thỏa yêu cầu bài toán.
d) Mệnh đề sai vì ta có $(\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m{\sin }^{2}x$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m\left(1-{\cos }^{2}x\right)$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x)=m(1-\cos x)(1+\cos x)$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m\cos x-m+m\cos x)=0$ $\iff (\cos x+1)(\cos 2x-m)=0$ $\iff \{\begin{array}{l}\cos x=-1\\ \cos 2x=m\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\pi +k2\pi \notin \left(0;\frac{\pi }{3}\right)\\ \cos 2x=m\end{array}$. Ta có $x\in \left(0;\frac{\pi }{3}\right)\Rightarrow 2x\in \left(0;\frac{2\pi }{3}\right)\Rightarrow \cos 2x\in \left(-\frac{1}{2};1\right)$. Vậy $S=\left(-\frac{1}{2};1\right)$. Khi đó $2a+b=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$ (đạo hàm của $2\sin x$ là $2\cos x$, không phải $-2\cos x$).
b) Đúng: $f(0)=2\sin 0+0=0$; $f(\pi )=2\sin \pi +\sqrt{3}\pi =\sqrt{3}\pi$.
c) Đúng: $\int (2\sin x+\sqrt{3}x)dx=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+C$, chọn $C=2026$ vẫn là một nguyên hàm.
d) Đúng: $f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}=0\Rightarrow \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{5\pi }{6}$ trên $[0;\pi ]$. So sánh: $f(0)=0$, $f(\pi )=\sqrt{3}\pi \approx 5,441$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}\approx 5,535$. Vậy GTLN là $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$. Kết quả khớp đáp án SĐĐĐ của mã đề 1201.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2\cos x+\sqrt{3}$, không phải $-2\cos x+\sqrt{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0$ và $f(\pi )=\sqrt{3}\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=-2\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+2026$ có $F^{\prime }(x)=2\sin x+\sqrt{3}x=f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=\frac{5\pi }{6}$, $f\left(\frac{5\pi }{6}\right)=1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}\approx 5,535>f(\pi )\approx 5,441>f(0)=0$, nên GTLN bằng $1+\frac{5\sqrt{3}\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) h'(t)=80/((2t+1)ln3); h'(7)=80/(15ln3)≈4,855≈4,85 cm/tuần → đúng. b) h(4)=40log_3(9)+12=80+12=92 cm → đúng. c) h'(t)=80/((2t+1)ln3)>0 với mọi t∈[0;18] nên chiều cao liên tục tăng → đúng. d) Sau 4 tuần kể từ khi kết trái: t=13, d(13)=3^(9/5)−3≈7,22−3=4,22 cm < 12 cm → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=80/((2t+1)ln3), h'(7)=80/(15ln3)≈4,855≈4,85 cm/tuần.
b) (AI giải đề cho tôi)
h(4)=40log_3(9)+12=40·2+12=92 cm.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=80/((2t+1)ln3)>0 trên [0;18] nên h(t) liên tục tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
t=9+4=13: d(13)=3^(9/5)−3≈7,22−3=4,22 cm < 12 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=-\frac{\cos x}{3{\sin }^{3}x}+\frac{4}{3}\cot x=-\frac{1}{3}\cot x\cdot {\csc }^{2}x+\frac{4}{3}\cot x$. Đặt $t=\cot x$, với ${\csc }^{2}x=1+{\cot }^{2}x=1+t^2$, ta có $y=-\frac{1}{3}t(1+t^2)+\frac{4}{3}t=t-\frac{t^3}{3}$. Khi đó $y^{\prime }=(1-t^2)\cdot t^{\prime }=(1-{\cot }^{2}x)\cdot (-{\csc }^{2}x)=-(1-{\cot }^{2}x)(1+{\cot }^{2}x)={\cot }^{4}x-1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) lim_{t→0+} h(t)=70·log2(1)+30=30, đúng. b) t=0,75: (8·0,75+1)/(0,75+1)=7/1,75=4, h=70·2+30=170, đúng. c) h'(t)=70/ln2·[8/(8t+1)−1/(t+1)]=490/[ln2·(8t+1)(t+1)]; tại t=6: 490/(343ln2)=10/(7ln2)≈2,06 ≠ 10/7, sai. d) h tăng dần và lim_{t→+∞} h(t)=70·log2(8)+30=240, nên h(t)<240 với mọi t>0, tức không vượt quá 240, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{t→0+} (8t+1)/(t+1)=1 nên h(0+)=70·0+30=30 cá thể.
b) (AI giải đề cho tôi)
t=9 tháng=0,75 năm: (8·0,75+1)/(1,75)=4, log2 4=2, h=140+30=170.
c) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)=490/[ln2·(8t+1)(t+1)]; tại t=6: 490/(49·7·ln2)=10/(7ln2)≈2,06 cá thể/năm, không bằng 10/7.
d) (AI giải đề cho tôi)
h'(t)>0 nên h tăng; lim_{t→+∞} h(t)=70·3+30=240, do đó h(t)<240 với mọi t, tức không vượt quá 240.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $f(x)=\frac{3-2x}{\sqrt{4x-1}}=(3-2x)(4x-1{)}^{-1/2}$ với $x>\frac{1}{4}$.
Theo quy tắc tích:
$$f^{\prime }(x)=-2(4x-1{)}^{-1/2}+(3-2x)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)(4x-1{)}^{-3/2}\cdot 4$$
$$=-\frac{2}{\sqrt{4x-1}}-\frac{2(3-2x)}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-2(4x-1)-2(3-2x)}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$$
$$=\frac{-8x+2-6+4x}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}=\frac{-4x-4}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}.$$
So sánh với $\frac{ax-b}{(4x-1)\sqrt{4x-1}}$ ta được $a=-4$, $b=4$, do đó $\frac{a}{b}=\frac{-4}{4}=-1$.
Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-2x}{x+1}=2x-4$ (với $x\ne -1$). Suy ra $x^2-2x=(2x-4)(x+1)=2x^2-2x-4$, tức $x^2-4=0$ nên $x=\pm 2$. Điểm $A$ có hoành độ âm nên $x_A=-2$ (khi đó $y_A=2(-2)-4=-8$). Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{(x+1{)}^2}$. Tại $x=-2$: $k=y^{\prime }(-2)=\frac{4-4-2}{(-1{)}^2}=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$.

a) Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x$. Đúng.

b) $h(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{1}{3}{x}^2-x+1+\frac{2025}{x}$ (với $x\ne 0$), nên $h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$. Tại $x=3$: $h^{\prime }(3)=2-1-\frac{2025}{9}=1-225=-224\ne 226$. Sai.

c) $f^{\prime }(x)=x+5\iff (x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$. Hai nghiệm trái dấu. Đúng.

d) Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $a$: hệ số góc $m=(a-1{)}^2\ge 0$, phương trình $y=m(x-a)+f(a)=mx+b$ với $b=f(a)-ma$. Đường thẳng cắt hai trục tạo tam giác vuông cân khi và chỉ khi $|b|=\left|\frac{b}{m}\right|$ (cắt trục tại điểm khác gốc). Vì $b\ne 0$ nên cần $|m|=1$, tức $m=1$ (do $m\ge 0$), suy ra $(a-1{)}^2=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$.
Kiểm tra: với $a=0$, $b=f(0)=2025\ne 0$; với $a=2$, $b=f(2)-2=\frac{8}{3}-4+2+2025-2=2025+\frac{2}{3}-2\ne 0$. Vậy có đúng hai tiếp tuyến (tại $a=0$ và $a=2$) có hệ số góc bằng 1, tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h^{\prime }(x)=\frac{2}{3}x-1-\frac{2025}{x^2}$, nên $h^{\prime }(3)=2-1-225=-224\ne 226$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(x-1{)}^2=x+5\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ hoặc $x=-1$: hai nghiệm trái dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến $y=mx+b$ tạo tam giác vuông cân với hai trục khi $|m|=1$ và $b\ne 0$. Vì $m=(a-1{)}^2\ge 0$ nên $m=1\Rightarrow a=0$ hoặc $a=2$, cả hai đều cho $b\ne 0$. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn.