Giả sử số lượng tế bào của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bởi hàm số $P(t)=\frac{a}{b+e^{-0,75t}}$ (với $a,b\in \mathbb{R}$), trong đó $t$ là thời gian được tính bằng giờ. Đạo hàm của hàm số $y=P(t)$ biểu thị tốc độ sinh trưởng của quần thể nấm men (tính bằng tế bào/giờ) tại thời điểm $t$ (giờ). Biết rằng tại thời điểm ban đầu $(t=0)$, quần thể nấm men có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng là 10 tế bào/giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=\frac{a}{b+1}=20$ suy ra $a=20(b+1)$. Có $P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{{\left(b+e^{-0,75t}\right)}^2}$, nên $P^{\prime }(0)=\frac{0,75a}{(b+1{)}^2}=10$. Thay $a=20(b+1)$: $\frac{15(b+1)}{(b+1{)}^2}=10\Rightarrow b+1=1,5\Rightarrow b=0,5$, $a=30$.

a) Đúng: theo đề bài $P(0)=20$, $P^{\prime }(0)=10$ (đã dùng làm điều kiện).

b) Sai: $3a+40b=90+20=110\ne 160$.

c) Sai: đặt $u=e^{-0,75t}>0$, $P^{\prime }=0,75a\cdot \frac{u}{(b+u{)}^2}$. Hàm $\frac{u}{(b+u{)}^2}$ đạt max tại $u=b$, giá trị max $=\frac{1}{4b}$. Vậy $P_{\max }^{\prime }=\frac{0,75a}{4b}=\frac{22,5}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.

d) Đúng: khi $u=b$ thì $P=\frac{a}{2b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết đề bài, tại $t=0$ quần thể có 20 tế bào và tốc độ sinh trưởng 10 tế bào/giờ, tức $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $P(0)=20$ và $P^{\prime }(0)=10$ giải được $b=0,5$, $a=30$. Khi đó $3a+40b=90+20=110\ne 160$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P^{\prime }(t)=\frac{0,75a{e}^{-0,75t}}{(b+e^{-0,75t}{)}^2}$ đạt max khi $e^{-0,75t}=b$, giá trị max $=\frac{0,75a}{4b}=\frac{0,75\cdot 30}{2}=11,25$ tế bào/giờ, không phải 12.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ sinh trưởng đạt max khi $e^{-0,75t}=b=0,5$, khi đó $P(t)=\frac{a}{b+b}=\frac{30}{1}=30$ tế bào.