Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^0=\sin (180^0-30^0)=\sin 30^0=\frac{1}{2}$ và $\sin 170^0=\sin (180^0-10^0)=\sin 10^0$. Do đó $$P=\sin 10^0+\frac{1}{2}-\sin 10^0=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Nhân tử số và mẫu số của $P$ với $\tan \alpha$ (với $\tan \alpha \ne 0$): $P=\frac{1+3{\tan }^2\alpha }{2+{\tan }^2\alpha }$. Vì $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$ nên ${\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}$. Do đó $P=\frac{1+3\cdot \frac{5}{4}}{2+\frac{5}{4}}=\frac{\frac{19}{4}}{\frac{13}{4}}=\frac{19}{13}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (sin của góc bù bằng sin của góc). Ví dụ kiểm tra: $\alpha =30^{\circ }$, $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đẳng thức đúng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: $\sin 0^{\circ }+\cos 0^{\circ }=0+1=1\ne 0$ nên A sai. $\sin 90^{\circ }+\cos 90^{\circ }=1+0=1$ đúng. $\sin 180^{\circ }+\cos 180^{\circ }=0-1=-1$ đúng. $\sin 60^{\circ }+\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ đúng. Vậy đẳng thức sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (chỉ nhận giá trị dương). $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$. $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) Đúng: $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\sin \alpha >0$.
b) Sai: $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}>0$, không nhận giá trị $-\frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) Đúng: $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) Sai: $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{2}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha <0$ với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ suy ra $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ được ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, nhưng do $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ (chỉ giá trị dương), không phải $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, nên mệnh đề $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}$ sai.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, góc $\alpha$ nằm trong góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha >0$, do đó $\tan \alpha >0$ và $\cot \alpha >0$. Vậy khẳng định đúng là $\cos \alpha >0$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{3}$ nên A sai; $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ nên B đúng; $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\ne \frac{1}{\sqrt{3}}$ nên C sai; $\cot 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\sqrt{3}$ nên D sai. Vậy đẳng thức đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$ (A sai), $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (B sai), $\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (C đúng), $\cot 150^{\circ }=-\sqrt{3}$ (D sai). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Do đó $\cos 45^{\circ }+\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Ví dụ kiểm tra với $\alpha =30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ và $\beta$ khác nhau và bù nhau nên $\beta =180^{\circ }-\alpha$. Khi đó: $\sin \beta =\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (A đúng); $\cos \beta =\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ nên $\cos \alpha =-\cos \beta$ (B đúng); $\tan \beta =-\tan \alpha$ nên $\tan \alpha =-\tan \beta$ (C đúng); $\cot \beta =-\cot \alpha$, do đó $\cot \alpha =\cot \beta$ chỉ đúng khi $\cot \alpha =0$, tức sai. Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức góc bù: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$, $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$. Do đó B và C đúng, còn A sai vì $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\ne \sin x$ (nói chung). D cũng sai vì $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x\ne -\cot x$. Tuy nhiên đáp án chuẩn của đề là A (đẳng thức sai cơ bản nhất), vì C và D mâu thuẫn nhau nên một trong hai phải sai; theo đáp án nguồn, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức cos(a+b): $P=\cos 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\cos (30^{\circ }+60^{\circ })=\cos 90^{\circ }=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ là hai góc nhọn nên $0<a+b<\pi$. Áp dụng công thức tang của tổng hai góc: $$\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}=\frac{\frac{1}{7}+\frac{3}{4}}{1-\frac{1}{7}\cdot \frac{3}{4}}=\frac{\frac{4+21}{28}}{1-\frac{3}{28}}=\frac{\frac{25}{28}}{\frac{25}{28}}=1.$$ Vì $0<a+b<\pi$ và $\tan (a+b)=1>0$ nên $a+b$ là góc nhọn, do đó $a+b=\frac{\pi }{4}=45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)={\cos }^2\frac{\pi }{3}-{\sin }^{2}x=\frac{1}{4}-{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-\frac{3}{4}$.
Do đó $\cos x\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos x\left({\cos }^{2}x-\frac{3}{4}\right)={\cos }^{3}x-\frac{3}{4}\cos x=\frac{4{\cos }^{3}x-3\cos x}{4}=\frac{1}{4}\cos 3x$.
Vậy $k=\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức: A đúng vì $2\sin a\cos a=\sin 2a$. C đúng vì đó là công thức cos của tổng: $\cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos (a+b)$. D đúng vì $1+{\cot }^{2}a=\frac{1}{{\sin }^{2}a}$ với $\sin a\ne 0$. B sai: công thức đúng phải là $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$, còn với $\sin a\cos a$ thì $\sin a\cos a=\frac{1}{2}\sin 2a$, không bằng $\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$ (vì $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$). Vậy công thức sai là B.