Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(\pi )=2\tan \pi +\sqrt{3}=2\cdot 0+\sqrt{3}=\sqrt{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\sin x$ là $[-1;1]$. Với $y=1+\cos x$ tập giá trị là $[0;2]$; $y=3\tan x$ và $y=\cot x$ có tập giá trị $\mathbb{R}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\sin 2x+\tan 2x$.

**Tập xác định:** $\tan 2x$ xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $D=\left\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ $O$ vì nếu $x\in D$ thì $-x\in D$.

**Xét tính chẵn lẻ:** Với mọi $x\in D$ ta có:
$$f(-x)=\sin (-2x)+\tan (-2x)=-\sin 2x-\tan 2x=-(\sin 2x+\tan 2x)=-f(x).$$

Vậy hàm số $f(x)=\sin 2x+\tan 2x$ là **hàm số lẻ**.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$:
- $y=\tan x$: có tập xác định $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, và $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Do đó $y=\tan x$ đồng biến trên từng khoảng xác định, đặc biệt đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Đáp án C.
- $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$: đồng biến khi $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ge 0$, tức $x\in \left(-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)$, không đồng biến trên toàn khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (ví dụ tại $x=\frac{\pi }{3}$ hàm đang nghịch biến).
- $y=1+\cos x$: có $y^{\prime }=-\sin x$, đổi dấu trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (âm khi $x>0$, dương khi $x<0$), nên không đồng biến trên khoảng này.
- $y=\cot x$: có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$, nghịch biến trên mọi khoảng xác định.
Vậy khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của hàm số $y=\tan x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm (0;1), đạt giá trị −1 tại x=±π, chu kỳ 2π nên là hàm số y=cos x. Hàm y=cos x đồng biến trên các khoảng (π+2kπ; 2π+2kπ), k∈ℤ. Trong các đáp án, khoảng (−π;0) chính là (−π+2π·0... ) tức (π−2π; 2π−2π)=(−π;0) với k=−1, nên hàm số đồng biến trên (−π;0). Kiểm tra: trên (−π;0) đồ thị đi từ điểm thấp (−π;−1) lên điểm cao (0;1), đúng là đồng biến. Các khoảng khác: trên (−3π/2;−π) hàm nghịch biến, trên (−π/2;π/2) hàm nghịch biến, trên (−π;π) hàm vừa tăng vừa giảm. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=\frac{1-2\cos x}{\sin x}$ có mẫu thức là $\sin x$. Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác 0, tức là $\sin x\ne 0$. Điều kiện $\sin x=0$ tương ứng với $x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Lưu ý: tử thức $1-2\cos x$ luôn xác định với mọi $x$ (vì $\cos x$ xác định trên $\mathbb{R}$), nên điều kiện duy nhất là $\sin x\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến khi $\cos x>0$, tức $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Kiểm tra các đáp án khác: trên $(-\pi ;\pi )$ hàm số không đồng biến trên toàn khoảng (giảm trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$); trên $\left(-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ cũng không (giảm trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$); trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ có $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ nên là hàm lẻ (loại A). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ nên là hàm chẵn (đúng). $y=\tan x$ có $\tan (-x)=-\tan x$ nên là hàm lẻ (loại C). $y=\cot x$ có $\cot (-x)=-\cot x$ nên là hàm lẻ (loại D). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(π)=3sin π−4=0−4=−4, đúng. b) f(−x)=3sin(−x)−4=−3sin x−4 ≠ −f(x)=−3sin x+4, nên hàm không lẻ, sai. c) sin x xác định với mọi x nên TXĐ là ℝ, đúng. d) Max = 3·1−4=−1 (không phải −7; −7 là giá trị nhỏ nhất), sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(π)=3sin π−4=−4, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(−x)=−3sin x−4 ≠ −f(x), hàm không lẻ.
c) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ của 3sin x−4 là ℝ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị lớn nhất là −1; −7 là giá trị nhỏ nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị lớn nhất bằng $15$ khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $t=80+91+182k$. Với $0<t\le 365$, chỉ có $k=0$ thỏa mãn, cho $t=171$. Vậy bạn An nên chọn ngày thứ $171$ của năm (khoảng cuối tháng 6, gần hạ chí) để thành phố $T$ có nhiều giờ có ánh sáng mặt trời nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và đi qua gốc $O$, tăng trên mỗi nhánh — đây là đồ thị hàm số $y=\tan x$. Khoảng cách giữa hai tiệm cận đứng liên tiếp là $\pi$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ nên là hàm lẻ (loại A). $y=\cot x$ có $\cot (-x)=-\cot x$ nên là hàm lẻ (loại B). $y=\tan x$ có $\tan (-x)=-\tan x$ nên là hàm lẻ (loại D). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ đối xứng qua gốc tọa độ và $\sin (-x)=-\sin x$ với mọi $x$, nên là hàm số lẻ. Các hàm $y=\cos x$, $y={\cos }^{2}x$, $y={\sin }^{2}x$ đều thỏa $f(-x)=f(x)$ nên là hàm số chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$. Hàm $y=\tan x$ và $y=\cot x$ có chu kì $\pi$. Hàm $y=\sin x$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$. Vậy hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ là $y=\sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin x$ là hàm số lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$ với mọi $x$, nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ $O$. Đồ thị không đối xứng qua trục hoành hay trục tung (vì $\sin (-x)\ne \sin x$), và đi qua điểm $(0;0)$ chứ không phải $(0;1)$ vì $\sin 0=0$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ là hàm số chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên đồ thị của nó đối xứng qua trục tung. Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ chứ không phải $(0;-1)$, và không đối xứng qua gốc tọa độ $O$ (vì hàm không lẻ).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\tan x$ là hàm số lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$, nên đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ $O$. Ngoài ra $\tan 0=0$ nên đồ thị đi qua gốc tọa độ chứ không qua điểm $(0;1)$, và không đối xứng qua trục tung hay trục hoành. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, đạt giá trị lớn nhất $1$ tại $x=\frac{\pi }{2}$, giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=-\frac{\pi }{2}$, tuần hoàn $2\pi$ và đối xứng qua gốc $O$. Đây chính là đồ thị hàm số $y=\sin x$. (Hàm $y=\cos x$ đi qua $(0;1)$; $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng.) Vậy đáp án A.