Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=\sin 2x+\tan 2x$.

**Tập xác định:** $\tan 2x$ xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $D=\left\{x\in \mathbb{R}:x\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Tập xác định đối xứng qua gốc tọa độ $O$ vì nếu $x\in D$ thì $-x\in D$.

**Xét tính chẵn lẻ:** Với mọi $x\in D$ ta có:
$$f(-x)=\sin (-2x)+\tan (-2x)=-\sin 2x-\tan 2x=-(\sin 2x+\tan 2x)=-f(x).$$

Vậy hàm số $f(x)=\sin 2x+\tan 2x$ là **hàm số lẻ**.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$:
- $y=\tan x$: có tập xác định $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, và $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Do đó $y=\tan x$ đồng biến trên từng khoảng xác định, đặc biệt đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Đáp án C.
- $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$: đồng biến khi $\cos \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\ge 0$, tức $x\in \left(-\frac{5\pi }{6}+2k\pi ;\frac{\pi }{6}+2k\pi \right)$, không đồng biến trên toàn khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (ví dụ tại $x=\frac{\pi }{3}$ hàm đang nghịch biến).
- $y=1+\cos x$: có $y^{\prime }=-\sin x$, đổi dấu trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ (âm khi $x>0$, dương khi $x<0$), nên không đồng biến trên khoảng này.
- $y=\cot x$: có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$, nghịch biến trên mọi khoảng xác định.
Vậy khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của hàm số $y=\tan x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm (0;1), đạt giá trị −1 tại x=±π, chu kỳ 2π nên là hàm số y=cos x. Hàm y=cos x đồng biến trên các khoảng (π+2kπ; 2π+2kπ), k∈ℤ. Trong các đáp án, khoảng (−π;0) chính là (−π+2π·0... ) tức (π−2π; 2π−2π)=(−π;0) với k=−1, nên hàm số đồng biến trên (−π;0). Kiểm tra: trên (−π;0) đồ thị đi từ điểm thấp (−π;−1) lên điểm cao (0;1), đúng là đồng biến. Các khoảng khác: trên (−3π/2;−π) hàm nghịch biến, trên (−π/2;π/2) hàm nghịch biến, trên (−π;π) hàm vừa tăng vừa giảm. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Hàm số đồng biến khi $\cos x>0$, tức $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Kiểm tra các đáp án khác: trên $(-\pi ;\pi )$ hàm số không đồng biến trên toàn khoảng (giảm trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$); trên $\left(-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ cũng không (giảm trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$); trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ có $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=\pm \frac{\pi }{2},\pm \frac{3\pi }{2},\dots$ và đi qua gốc $O$, tăng trên mỗi nhánh — đây là đồ thị hàm số $y=\tan x$. Khoảng cách giữa hai tiệm cận đứng liên tiếp là $\pi$, nên hàm số tuần hoàn với chu kì $T=\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\sin x$ và $\cos x$ đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ nên đúng. b) $g\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)\ne -f(x)$, nên sai. c) $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, đúng. d) $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ có giá trị trong $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x=f(x)$, không phải $-f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, vì $\sqrt{3}>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Sai vì sin x và cos x có chu kì nhỏ nhất T = 2π, không phải π. b) Đúng vì cos(π/2 − x) = sin x theo công thức lượng giác. c) Đúng vì sin x = cos x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ. d) Đúng vì f(x) − g(x) = sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) có giá trị trong [−√2, √2], nên phương trình √2 sin(x − π/4) = √2 có nghiệm x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin x và cos x tuần hoàn với chu kì nhỏ nhất T = 2π, không phải T = π.
b) (AI giải đề cho tôi)
g(π/2 − x) = cos(π/2 − x) = sin x = f(x).
c) (AI giải đề cho tôi)
sin x = cos x ⟺ tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ, k ∈ ℤ.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin x − cos x = √2 sin(x − π/4) ∈ [−√2, √2]; phương trình = √2 có nghiệm x = 3π/4 + 2kπ, k ∈ ℤ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Sai vì $\sin x$ là hàm lẻ, $\cos x$ là hàm chẵn, và cả hai đều tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$ chứ không phải $T=\pi$. b) Đúng theo công thức giảm: $f\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$. c) Đúng: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. d) Đúng: $f(x)-g(x)=\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, mà $3>\sqrt{2}$ nên phương trình vô nghiệm.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ là hàm lẻ, $\cos x$ là hàm chẵn; chu kì của cả hai là $T=2\pi$, không phải $\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Theo công thức giảm: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x=g(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x=\cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x-\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)\in [-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không thể bằng $3$, nên vô nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$ (khi đó $h=6$ m). Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=16k-2$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $t\in [0;24)$ (trong một ngày): $k=1$ cho $t=14$. Vậy mực nước cao nhất vào thời điểm $t=14$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi \right)$ (góc phần tư thứ II): $y=\sin x$ nghịch biến (đúng), $y=\cos x$ nghịch biến (đúng), $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (đúng), còn $y=\cot x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định nên khẳng định "$y=\cot x$ đồng biến" là sai. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$. Ta có $y^{\prime }=-\sin x$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff \sin x<0\iff x\in (-\pi +2k\pi ;2k\pi )$. Xét các khoảng: trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\pi \right)$ nên A sai; trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ nên B sai; trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số nghịch biến nên C sai; trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ có $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{5}\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne -\frac{\pi }{5}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=\sin x$.
a) $\sin (-x)=-\sin x$ nên hàm số là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ $O$, không phải hàm chẵn đối xứng qua trục $Oy$. Mệnh đề SAI.
b) $\sin (x+2\pi )=\sin x$ với mọi $x$, và $2\pi$ là chu kì nhỏ nhất. Mệnh đề ĐÚNG.
c) $\sin x$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$ và nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right)$. Với $k=-1$: nghịch biến trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$. Khoảng $\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}-2\pi ;\frac{\pi }{2}-2\pi \right)$ là khoảng đồng biến. Mệnh đề SAI.
d) Giải $\sin x\ge \frac{1}{2}$: $\frac{\pi }{6}+2k\pi \le x\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi$. Trong khoảng $\left[-\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right]$ chỉ có $k=0$ cho $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6}$ (các nghiệm với $k\ne 0$ không thuộc khoảng). Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (-x)=-\sin x$, hàm số lẻ, đối xứng qua gốc $O$, không đối xứng qua trục $Oy$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin (x+2\pi )=\sin x$, chu kì $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\left(-\frac{5\pi }{2};-\frac{3\pi }{2}\right)$ là khoảng đồng biến của $\sin x$; khoảng nghịch biến tương ứng là $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x\ge \frac{1}{2}\iff \frac{\pi }{6}+2k\pi \le x\le \frac{5\pi }{6}+2k\pi$; trong $\left[-\frac{5\pi }{6};\frac{7\pi }{6}\right]$ chỉ có $k=0$ cho $\frac{\pi }{6}\le x\le \frac{5\pi }{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0, tức $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-3\le 3\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 3$, suy ra $-4\le y\le 2$. Vậy max $y=2$, min $y=-4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$ và đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pm \pi$. Đây là đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ (hàm cosin có $\cos 0=1$, $\cos \frac{\pi }{2}=0$, $\cos \pi =-1$). Các hàm $y=\tan x$, $y=\cot x$ có tiệm cận đứng nên loại; $y=\sin x$ có $\sin 0=0$ (đi qua gốc tọa độ) nên cũng loại. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức khi $\cos \left(\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}\right)=1$. Khi đó $\frac{\pi t}{8}+\frac{\pi }{4}=2k\pi \Rightarrow t=-2+16k$. Với $t\in [0;24)$, chọn $k=1$ nên $t=14$. Kiểm tra: $\frac{\pi \cdot 14}{8}+\frac{\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}+\frac{\pi }{4}=2\pi$, cos bằng 1, $h=15$ m (cao nhất). Vậy mực nước cao nhất khi $t=14$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\cos 2x\le 1$ nên $f(x)\le 2+3=5$, max bằng 5 khi $\cos 2x=1$. Đúng.
b) $f$ đạt min $=-1$ khi $\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +2k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Đúng.
c) $g(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x\ne g(x)$, ví dụ $g(\pi /2)=1\ne g(-\pi /2)=-1$. Vậy $g$ không chẵn. Sai.
d) $g(x+2\pi )=g(x)$ và không có $T<2\pi$ thỏa mãn với mọi $x$ (ví dụ $g(0)=1$, $g(\pi /2)=1$ nhưng $g(\pi /4)=\sqrt{2}$). Chu kỳ là $2\pi$, không phải $\pi /2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x\le 1$ nên $f(x)\le 5$, đạt được khi $\cos 2x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=-1\iff 2x=\pi +2k\pi \iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(-x)=\cos x-\sin x\ne g(x)$, ví dụ $g(\pi /2)=1\ne g(-\pi /2)=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của $g(x)=\sin x+\cos x$ là $T=2\pi$, không phải $\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\sin x}{1+\cos x}$ xác định khi $1+\cos x\ne 0$, tức $\cos x\ne -1$. Điều này xảy ra khi $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Lưu ý $1-\sin x$ luôn khác 0 vì $\sin x\le 1$. Đáp án C.