Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=a, ta có A=(a; log_4 a), B=(a; log_{1/2} a)=(a; -2log_4 a), I=(a;0). Diện tích tam giác OIA là S_{OIA} = (1/2)·a·|log_4 a|, diện tích tam giác OIB là S_{OIB} = (1/2)·a·|log_{1/2} a| = (1/2)·a·2|log_4 a|. Vậy S_{OIA}/S_{OIB} = 1/2.

b) M=(m; log_4 m) thuộc (C_1), N=(n; log_{1/2} n) thuộc (C_2). G(2;0) là trọng tâm tam giác OMN nên (m+n)/3 = 2 ⇒ m+n=6, và (log_4 m + log_{1/2} n)/3 = 0 ⇒ (1/2)log_2 m - log_2 n = 0 ⇒ n = √m. Thay vào: m + √m = 6. Đặt t=√m>0: t²+t-6=0 ⇒ t=2 (nhận), t=-3 (loại). Suy ra m=4, n=2. Vậy M=(4;1), N=(2;-1). Kiểm tra: trọng tâm = ((4+2)/3; (1-1)/3)=(2;0) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(x^2-2x+3)$ xác định trên $\mathbb{R}$ vì $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$. Đặt $t=x^2-2x+3$, hàm $y={\log }_{3}t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Hàm $t=x^2-2x+3$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ (vì $t^{\prime }=2x-2>0$ khi $x>1$). Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(3)=7000/(1+69e^{-3})≈7000/(1+3,431)≈1580 chiếc < 2000 → Sai. b) f(t)<7000 với mọi t và lim_{t→+∞} f(t)=7000, nên tổng số áo không vượt quá 7000 → Đúng. c) f(0)=7000/70=100 chiếc → Đúng. d) f'(t)=7000·69e^{-t}/(1+69e^{-t})^2 lớn nhất khi 69e^{-t}=1, tức t=ln69≈4,234 ngày ≈ 101,6 giờ, không phải 360 giờ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(3)=7000/(1+69e^{-3})≈1580 < 2000, nên số áo bán ra không vượt quá 2000 chiếc.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(t)<7000 với mọi t≥0 và lim_{t→+∞} f(t)=7000, nên tổng số áo không vượt quá 7000 chiếc.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(0)=7000/(1+69)=100 chiếc.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(t) lớn nhất khi 69e^{-t}=1, tức t=ln69≈4,234 ngày ≈ 101,6 giờ ≠ 360 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=(x-1{)}^{\frac{1}{6}}+\log (4-x^2)$ xác định khi: (i) $(x-1{)}^{\frac{1}{6}}$ xác định cần $x-1\ge 0\iff x\ge 1$ (số mũ $\frac{1}{6}$ với mẫu số chẵn 6 nên cần biểu thức dưới căn bậc 6 không âm); (ii) $\log (4-x^2)$ xác định cần $4-x^2>0\iff -2<x<2$. Giao hai điều kiện: $1\le x<2$, tức tập xác định là $[1;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{3x-2}{x+1}\to 3$, nên $y=5^{\frac{3x-2}{x+1}}\to 5^3=125$. Vậy tiệm cận ngang là $y=125$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)={\log }_2(x^2-4x+8)$. a) $x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4>0$ với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{(x^2-4x+8)\ln 2}$, đề thiếu hệ số $\frac{1}{\ln 2}$: sai. c) $x^2-4x+8\ge 4$ khi $x=2$, nên $\min f={\log }_{2}4=2\ne 1$: sai. d) $f(x)=2025\iff x^2-4x+8=2^{2025}$, có $\Delta =16-4(8-2^{2025})=4\cdot 2^{2025}-16>0$ nên phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{(x^2-4x+8)\ln 2}$, thiếu thừa số $\frac{1}{\ln 2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8\ge 4$ nên $\min f={\log }_{2}4=2\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8=2^{2025}$ có $\Delta =4\cdot 2^{2025}-16>0$ nên có đúng hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $M=\log A-\log A_0$, ta có $A=A_0\cdot 10^M$. Gọi $A_1$ là biên độ của trận động đất ở Tohoku ($M_1=9,1$) và $A_2$ là biên độ của trận động đất ở phía Bắc Algeria ($M_2=6,8$). Khi đó $\log \frac{A_1}{A_2}=M_1-M_2=9,1-6,8=2,3$, suy ra $\frac{A_1}{A_2}=10^{2,3}\approx 199,53\approx 200$. Vậy biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở Tohoku gấp khoảng 200 lần biên độ của trận động đất ở phía Bắc Algeria.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đối xứng với $(C)$ qua đường thẳng $y=x$ là đồ thị hàm số ngược của $y=-{\log }_{2}x$. Tìm hàm ngược: từ $y=-{\log }_{2}x$ ta có $x=-{\log }_{2}y$, suy ra ${\log }_{2}y=-x$, tức $y=2^{-x}$. Vậy hàm số cần tìm là $y=2^{-x}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: hai đồ thị $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a>1,b>1$; với $x>1$ thì ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$ nên $a<b$, suy ra $1<a<b$. Đồ thị $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$ (a đúng).

b) $y=3$ cắt $y={\log }_{a}x$ tại $x_1=a^3$, cắt $y={\log }_{b}x$ tại $x_2=b^3$. Điều kiện $x_2=2x_1$ cho $b^3=2a^3\Rightarrow b=a\sqrt[3]{2}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\ne \sqrt[3]{2}$ (b sai).

c) Vì $0<c<1$ nên $y={\log }_{c}x$ nghịch biến trên $(0;+\infty )$ (c sai).

d) Mọi hàm $y={\log }_{k}x$ đều đi qua $(1;0)$ vì ${\log }_{k}1=0$ (d đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị đồng biến nên $a,b>1$; với $x>1$, ${\log }_{a}x>{\log }_{b}x$ nên $a<b$. Đồ thị $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$. Vậy $0<c<1<a<b$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x_1=a^3,x_2=b^3$, $b^3=2a^3\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\ne \sqrt[3]{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0<c<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{k}1=0$ với mọi cơ số $k>0,k\ne 1$, nên cả ba đồ thị đi qua $A(1;0)$.

Chọn D (theo thứ tự phương án của nguồn giải, tương ứng phương án B của đề). Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:
Hàm số có TXĐ: $D=\mathbb{R}$, tập giá trị $T=(0;+\infty )$ và hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ (loại A và C).
Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;3)$ (loại B, tức $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$). Vậy đồ thị là của hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$.

Chọn B. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(2;2)\Rightarrow {\log }_{a}2=2\Rightarrow a^2=2\Rightarrow a=\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{{\log }_{2}x-1}$ xác định khi ${\log }_{2}x$ có nghĩa, tức $x>0$, và mẫu số khác 0: ${\log }_{2}x-1\ne 0\iff {\log }_{2}x\ne 1\iff x\ne 2$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )\setminus \{2\}$, trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua $I(1;1)$, nên với mọi $x$: điểm đối xứng qua $I$ của $(x,f(x))$ là $(2-x,2-f(x))$ thuộc đồ thị $y=a^x$, tức $2-f(x)=a^{2-x}$, suy ra $f(x)=2-a^{2-x}$. Khi đó với $x=2+{\log }_a\frac{1}{2023}$: $2-x=-{\log }_a\frac{1}{2023}={\log }_{a}2023$, nên $a^{2-x}=2023$. Vậy $f\left(2+{\log }_a\frac{1}{2023}\right)=2-2023=-2021$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua $I(0;1)$: điểm $(x_0;a^{x_0})$ trên $y=a^x$ đối xứng qua $I$ thành $(-x_0;2-a^{x_0})$. Vậy $f(x)=2-a^{-x}$. Khi đó với $x={\log }_a\frac{1}{2026}$ ta có $-x={\log }_{a}2026$, nên $f\left({\log }_a\frac{1}{2026}\right)=2-a^{{\log }_{a}2026}=2-2026=-2024$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $-x^2+2x+24>0\iff -4<x<6$, tức tập xác định là $(-4;6)$. Đặt $t(x)=-x^2+2x+24$, có $t^{\prime }(x)=-2x+2$, nên $t$ nghịch biến trên $(1;6)$. Vì hàm ${\log }_{\frac{1}{2}}t$ nghịch biến theo $t$, hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(-x^2+2x+24)$ đồng biến khi $t$ nghịch biến, tức trên khoảng $(1;6)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai hàm số $y=a^{x-1}$ và $y={\log }_a(ax)=1+{\log }_{a}x$ là hai hàm ngược nhau (đồ thị đối xứng qua $y=x$), đồng thời cùng tăng nên điểm chung $A$ nằm trên đường thẳng $y=x$. Đặt $A(t;t)$. Vì $A$ thuộc đồ thị $y=a^{x-1}$ nên $t=a^{t-1}$, suyra $a=t^{1/(t-1)}$; điều kiện $a>1$ yêu cầu $t>1$. Từ $IA=5$: $(t+2{)}^2+(t+1{)}^2=25\iff 2t^2+6t-20=0\iff t^2+3t-10=0\iff t=2$ (nhận, $t>1$) hoặc $t=-5$ (loại). Khi đó $a=2^1=2>1$ thỏa mãn. Khoảng cách từ $A(2;2)$ đến gốc tọa độ: $OA=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;{\log }_{3}a)$, $B(b;{\log }_{1/\sqrt{3}}b)$. Vì $C(3;0)$ là trung điểm $AB$: hoành độ $a+b=6$; tung độ ${\log }_{3}a+{\log }_{1/\sqrt{3}}b=0$. Do ${\log }_{1/\sqrt{3}}b=-2{\log }_{3}b$ nên ${\log }_{3}a=2{\log }_{3}b\Rightarrow a=b^2$. Suy ra $b^2+b-6=0\Rightarrow b=2,a=4$. Vậy $A(4;{\log }_{3}4)$, $B(2;-2{\log }_{3}2)$. Độ dài $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+({\log }_{3}4+2{\log }_{3}2{)}^2}=\sqrt{4+(3{\log }_{3}2{)}^2}=\sqrt{4+(1.8928{)}^2}\approx \sqrt{7.583}\approx 2.75$... kiểm tra lại: ${\log }_{3}4\approx 1.2619$, $-2{\log }_{3}2\approx -1.2619$, hiệu tung độ $=2.5237$, nên $AB=\sqrt{4+6.369}=\sqrt{10.369}\approx 3.22$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0$, tức $x<-3$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-\infty ;-3)$, ta có $t=x^2+3x$ nghịch biến (vì $t^{\prime }=2x+3<0$ khi $x<-3$) và ${\log }_{2}t$ đồng biến, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$. Vậy giá trị lớn nhất của $a$ là $a=-3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0105, Phần III câu 2: $-3$).