Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Với x=a, ta có A=(a; log_4 a), B=(a; log_{1/2} a)=(a; -2log_4 a), I=(a;0). Diện tích tam giác OIA là S_{OIA} = (1/2)·a·|log_4 a|, diện tích tam giác OIB là S_{OIB} = (1/2)·a·|log_{1/2} a| = (1/2)·a·2|log_4 a|. Vậy S_{OIA}/S_{OIB} = 1/2.

b) M=(m; log_4 m) thuộc (C_1), N=(n; log_{1/2} n) thuộc (C_2). G(2;0) là trọng tâm tam giác OMN nên (m+n)/3 = 2 ⇒ m+n=6, và (log_4 m + log_{1/2} n)/3 = 0 ⇒ (1/2)log_2 m - log_2 n = 0 ⇒ n = √m. Thay vào: m + √m = 6. Đặt t=√m>0: t²+t-6=0 ⇒ t=2 (nhận), t=-3 (loại). Suy ra m=4, n=2. Vậy M=(4;1), N=(2;-1). Kiểm tra: trọng tâm = ((4+2)/3; (1-1)/3)=(2;0) đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) f(3)=7000/(1+69e^{-3})≈7000/(1+3,431)≈1580 chiếc < 2000 → Sai. b) f(t)<7000 với mọi t và lim_{t→+∞} f(t)=7000, nên tổng số áo không vượt quá 7000 → Đúng. c) f(0)=7000/70=100 chiếc → Đúng. d) f'(t)=7000·69e^{-t}/(1+69e^{-t})^2 lớn nhất khi 69e^{-t}=1, tức t=ln69≈4,234 ngày ≈ 101,6 giờ, không phải 360 giờ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(3)=7000/(1+69e^{-3})≈1580 < 2000, nên số áo bán ra không vượt quá 2000 chiếc.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(t)<7000 với mọi t≥0 và lim_{t→+∞} f(t)=7000, nên tổng số áo không vượt quá 7000 chiếc.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(0)=7000/(1+69)=100 chiếc.
d) (AI giải đề cho tôi)
f'(t) lớn nhất khi 69e^{-t}=1, tức t=ln69≈4,234 ngày ≈ 101,6 giờ ≠ 360 giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)={\log }_2(x^2-4x+8)$. a) $x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4>0$ với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$: đúng. b) $f^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{(x^2-4x+8)\ln 2}$, đề thiếu hệ số $\frac{1}{\ln 2}$: sai. c) $x^2-4x+8\ge 4$ khi $x=2$, nên $\min f={\log }_{2}4=2\ne 1$: sai. d) $f(x)=2025\iff x^2-4x+8=2^{2025}$, có $\Delta =16-4(8-2^{2025})=4\cdot 2^{2025}-16>0$ nên phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8=(x-2{)}^2+4>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2x-4}{(x^2-4x+8)\ln 2}$, thiếu thừa số $\frac{1}{\ln 2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8\ge 4$ nên $\min f={\log }_{2}4=2\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+8=2^{2025}$ có $\Delta =4\cdot 2^{2025}-16>0$ nên có đúng hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua $I(1;1)$, nên với mọi $x$: điểm đối xứng qua $I$ của $(x,f(x))$ là $(2-x,2-f(x))$ thuộc đồ thị $y=a^x$, tức $2-f(x)=a^{2-x}$, suy ra $f(x)=2-a^{2-x}$. Khi đó với $x=2+{\log }_a\frac{1}{2023}$: $2-x=-{\log }_a\frac{1}{2023}={\log }_{a}2023$, nên $a^{2-x}=2023$. Vậy $f\left(2+{\log }_a\frac{1}{2023}\right)=2-2023=-2021$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f(x)$ đối xứng với $y=a^x$ qua $I(0;1)$: điểm $(x_0;a^{x_0})$ trên $y=a^x$ đối xứng qua $I$ thành $(-x_0;2-a^{x_0})$. Vậy $f(x)=2-a^{-x}$. Khi đó với $x={\log }_a\frac{1}{2026}$ ta có $-x={\log }_{a}2026$, nên $f\left({\log }_a\frac{1}{2026}\right)=2-a^{{\log }_{a}2026}=2-2026=-2024$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai hàm số $y=a^{x-1}$ và $y={\log }_a(ax)=1+{\log }_{a}x$ là hai hàm ngược nhau (đồ thị đối xứng qua $y=x$), đồng thời cùng tăng nên điểm chung $A$ nằm trên đường thẳng $y=x$. Đặt $A(t;t)$. Vì $A$ thuộc đồ thị $y=a^{x-1}$ nên $t=a^{t-1}$, suyra $a=t^{1/(t-1)}$; điều kiện $a>1$ yêu cầu $t>1$. Từ $IA=5$: $(t+2{)}^2+(t+1{)}^2=25\iff 2t^2+6t-20=0\iff t^2+3t-10=0\iff t=2$ (nhận, $t>1$) hoặc $t=-5$ (loại). Khi đó $a=2^1=2>1$ thỏa mãn. Khoảng cách từ $A(2;2)$ đến gốc tọa độ: $OA=2\sqrt{2}\approx 2,83$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;{\log }_{3}a)$, $B(b;{\log }_{1/\sqrt{3}}b)$. Vì $C(3;0)$ là trung điểm $AB$: hoành độ $a+b=6$; tung độ ${\log }_{3}a+{\log }_{1/\sqrt{3}}b=0$. Do ${\log }_{1/\sqrt{3}}b=-2{\log }_{3}b$ nên ${\log }_{3}a=2{\log }_{3}b\Rightarrow a=b^2$. Suy ra $b^2+b-6=0\Rightarrow b=2,a=4$. Vậy $A(4;{\log }_{3}4)$, $B(2;-2{\log }_{3}2)$. Độ dài $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+({\log }_{3}4+2{\log }_{3}2{)}^2}=\sqrt{4+(3{\log }_{3}2{)}^2}=\sqrt{4+(1.8928{)}^2}\approx \sqrt{7.583}\approx 2.75$... kiểm tra lại: ${\log }_{3}4\approx 1.2619$, $-2{\log }_{3}2\approx -1.2619$, hiệu tung độ $=2.5237$, nên $AB=\sqrt{4+6.369}=\sqrt{10.369}\approx 3.22$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0$, tức $x<-3$ hoặc $x>0$. Trên khoảng $(-\infty ;-3)$, ta có $t=x^2+3x$ nghịch biến (vì $t^{\prime }=2x+3<0$ khi $x<-3$) và ${\log }_{2}t$ đồng biến, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$. Vậy giá trị lớn nhất của $a$ là $a=-3$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0105, Phần III câu 2: $-3$).

(AI giải đề cho tôi) Điều kiện: $x^2+3x>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Đặt $t=x^2+3x$, hàm $y={\log }_{2}t$ đồng biến nên $y$ nghịch biến khi $t=x^2+3x$ nghịch biến, tức trên $\left(-\infty ;-\frac{3}{2}\right)$. Kết hợp điều kiện xác định, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$. Vậy giá trị lớn nhất của $a$ là $a=-3$ (khớp với đáp án −3 trong bảng hướng dẫn chấm, Phần III, Câu 3, Mã đề 0101, trang 17).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $y=3$ cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_1<x_2$ với $x_2=2x_1$. Theo sơ đồ bài toán (cắt $y=3$ với $y={\log }_{b}x$ tại hoành độ $x_1$ và với $y={\log }_{a}x$ tại hoành độ $x_2$), ta có: ${\log }_b{x}_1=3\Rightarrow x_1=b^3$ và ${\log }_a{x}_2=3\Rightarrow x_2=a^3$. Vì $x_2=2x_1$ nên $a^3=2b^3$, suy ra $\frac{a^3}{b^3}=2\Rightarrow \frac{a}{b}=\sqrt[3]{2}$. Vậy đáp án là D. (Kiểm tra: ${\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3=2$, thỏa mãn.)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=x-\frac{1}{2}$, khi đó $x^2-x+\frac{109}{4}=u^2+27$ và $f(x)={\log }_3\left(u+\sqrt{u^2+27}\right)$. Xét $f(1-x)$: khi đó $u$ thay bởi $-u$, nên $f(1-x)={\log }_3\left(-u+\sqrt{u^2+27}\right)$. Do đó $f(x)+f(1-x)={\log }_3\left[(u+\sqrt{u^2+27})(-u+\sqrt{u^2+27})\right]={\log }_3(27)=3$. Trong tổng $T$ có 2024 số hạng, ghép từng cặp $f\left(\frac{k}{2025}\right)+f\left(\frac{2025-k}{2025}\right)=3$, được $1012$ cặp. Vậy $T=1012\cdot 3=3048$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_3(2x-3)$. a) Điều kiện $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$, nên tập xác định là $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ (khoảng mở), không phải $\left[\frac{3}{2};+\infty \right)$ → sai. b) $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-3{)}^{\prime }}{(2x-3)\ln 3}=\frac{2}{(2x-3)\ln 3}$ với mọi $x>\frac{3}{2}$ → đúng. c) $f(x)={\log }_3(x^2-x-1)\iff 2x-3=x^2-x-1\iff x^2-3x+2=0\iff x=1$ hoặc $x=2$. Với $x=1$: $2x-3=-1<0$ (ngoài tập xác định, loại). Với $x=2$: $2x-3=1>0$ và $x^2-x-1=1>0$, thỏa mãn. Vậy phương trình chỉ có một nghiệm → sai. d) $f(x)\le 4\iff 0<2x-3\le 81\iff \frac{3}{2}<x\le 42$. Nghiệm nguyên: $x\in \{2,3,\dots ,42\}$, tổng $=\frac{(2+42)\cdot 41}{2}=903$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là khoảng mở $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$ vì cần $2x-3>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(2x-3)\ln 3}$ đúng trên $\left(\frac{3}{2};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đưa về $x^2-3x+2=0$ với nghiệm $x=1,2$; chỉ $x=2$ thỏa mãn điều kiện xác định nên chỉ có một nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình cho $\frac{3}{2}<x\le 42$; tổng các số nguyên từ 2 đến 42 là $\frac{44\cdot 41}{2}=903$.

a) Điều kiện xác định: $\frac{x+22}{x+1}>0\Rightarrow (x+22)(x+1)>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-22)\cup (-1;+\infty )$. (Sai)

b) Đạo hàm hàm số: $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+22)\ln 2}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}=1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}$. (Đúng)

c) Xét phương trình $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}=0\Rightarrow (x+22)(x+1)=\frac{21}{\ln 2}$ có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng xác định hàm số. (Có thể lập bảng biến thiên). Vậy hàm số có 2 cực trị. (Đúng)

d) Các điểm có tọa độ $(x;y)$ nguyên dương thì khi đó: ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}=y-x$ cũng phải nguyên dương. Mặt khác: $\frac{x+22}{x+1}$ nghịch biến với $x>0$ nên $\frac{22}{1}=22>\frac{x+22}{x+1}>1$. Nên để ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ nguyên dương thì $\frac{x+22}{x+1}\in \{2;4;8;16\}$. Giải các trường hợp với điều kiện $x$ nguyên: với $\frac{x+22}{x+1}=2\Rightarrow x=20$, $y=21$; với $\frac{x+22}{x+1}=4\Rightarrow x=6$, $y=8$; với $\frac{x+22}{x+1}=8\Rightarrow x=2$, $y=5$; với $\frac{x+22}{x+1}=16\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ (loại). Vậy các cặp tọa độ $(x;y)\in \{(20;21);(6;8);(2;5)\}$. Ba điểm này không thẳng hàng (hệ số góc giữa $(2;5)$ và $(6;8)$ là $\frac{3}{4}$, giữa $(6;8)$ và $(20;21)$ là $\frac{13}{14}$), nên đa giác tạo bởi chúng là tam giác có diện tích $S=\frac{1}{2}\left|18\cdot 3-16\cdot 4\right|=5\ne 10$ (đơn vị diện tích). (Sai)
a) Điều kiện xác định: $\frac{x+22}{x+1}>0\Rightarrow (x+22)(x+1)>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-22)\cup (-1;+\infty )$. (Sai)
b) Đạo hàm hàm số: $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{(x+22)\ln 2}-\frac{1}{(x+1)\ln 2}=1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}$. (Đúng)
c) Xét phương trình $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 1-\frac{21}{(x+22)(x+1)\ln 2}=0\Rightarrow (x+22)(x+1)=\frac{21}{\ln 2}$ có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng xác định hàm số. (Có thể lập bảng biến thiên). Vậy hàm số có 2 cực trị. (Đúng)
d) Các điểm có tọa độ $(x;y)$ nguyên dương thì khi đó: ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}=y-x$ cũng phải nguyên dương. Mặt khác: $\frac{x+22}{x+1}$ nghịch biến với $x>0$ nên $\frac{22}{1}=22>\frac{x+22}{x+1}>1$. Nên để ${\log }_2\frac{x+22}{x+1}$ nguyên dương thì $\frac{x+22}{x+1}\in \{2;4;8;16\}$. Giải các trường hợp với điều kiện $x$ nguyên: với $\frac{x+22}{x+1}=2\Rightarrow x=20$, $y=21$; với $\frac{x+22}{x+1}=4\Rightarrow x=6$, $y=8$; với $\frac{x+22}{x+1}=8\Rightarrow x=2$, $y=5$; với $\frac{x+22}{x+1}=16\Rightarrow x=\frac{6}{5}$ (loại). Vậy các cặp tọa độ $(x;y)\in \{(20;21);(6;8);(2;5)\}$. Ba điểm này không thẳng hàng (hệ số góc giữa $(2;5)$ và $(6;8)$ là $\frac{3}{4}$, giữa $(6;8)$ và $(20;21)$ là $\frac{13}{14}$), nên đa giác tạo bởi chúng là tam giác có diện tích $S=\frac{1}{2}\left|18\cdot 3-16\cdot 4\right|=5\ne 10$ (đơn vị diện tích). (Sai)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, hình vuông MNPQ có cạnh nằm trên hai đường thẳng $y=4$, $y=8$, hai cạnh còn lại nằm trên hai đường thẳng đứng $x=x_1$ (qua $M,N$) và $x=x_2$ (qua $P,Q$), với $x_2-x_1=4$ (cạnh hình vuông bằng 4).

Quan sát hình: đường cong $C_2$ đi qua cả $M(x_1;4)$ và $P(x_2;8)$; đường cong $C_1$ đi qua $N(x_1;8)$; đường cong $C_3$ đi qua $Q(x_2;4)$.

Ta có hệ:
$$b^{x_1}=4,b^{x_2}=8,a^{x_1}=8,c^{x_2}=4,x_2-x_1=4.$$

Từ $b^{x_2}/b^{x_1}=8/4=2$ suy ra $b^{x_2-x_1}=2$, mà $x_2-x_1=4$ nên $b^4=2\Rightarrow b=2^{1/4}$.

Từ $b^{x_1}=4=2^2=2^{8\cdot 1/4}$ suy ra $x_1=8$, do đó $x_2=12$.

Suy ra:
$$a^8=8=2^3\Rightarrow a=2^{3/8};c^{12}=4=2^2\Rightarrow c=2^{2/12}=2^{1/6}.$$

Khi đó:
$$abc=2^{3/8}\cdot 2^{1/4}\cdot 2^{1/6}=2^{\frac{9+6+4}{24}}=2^{19/24}.$$

Vậy $abc=2^{x/y}$ với $\frac{x}{y}=\frac{19}{24}$ tối giản, $x=19,y=24$, nên $x+y=43$.

Kiểm tra lại tính nhất quán với hình vẽ: $C_1:y=2^{3x/8}$ cắt $y=4$ tại $x=8/3$ (bên trái $M$), cắt $y=8$ tại $x=8$ (đúng tại $N$); $C_2:y=2^{x/4}$ cắt $y=4$ tại $x=8$ (đúng tại $M$) và $y=8$ tại $x=12$ (đúng tại $P$); $C_3:y=2^{x/6}$ cắt $y=4$ tại $x=12$ (đúng tại $Q$). Mọi vị trí khớp với hình vẽ.

Đáp án: $x+y=43$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(4^x-2^x+m)$ xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $4^x-2^x+m>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Đặt $t=2^x>0$, khi đó bất thức trở thành $t^2-t+m>0$ với mọi $t>0$. Xét $f(t)=t^2-t+m$ có đỉnh tại $t=\frac{1}{2}>0$ với giá trị nhỏ nhất $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+m=m-\frac{1}{4}$. Để $f(t)>0$ với mọi $t>0$ thì $m-\frac{1}{4}>0$, tức $m>\frac{1}{4}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\log (x^2-2mx+4)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $x^2-2mx+4>0$ với mọi $x$. Vì hệ số $a=1>0$, điều kiện là $\Delta <0$: $\Delta =4m^2-16<0\iff m^2<4\iff -2<m<2$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{-1;0;1\}$, vậy có 3 giá trị nguyên.

Chọn A. Hàm số $y=a^x$ đồ thị có dáng đi xuống từ trái sang phải nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$ do đó $0<a<1$ (1). Hai hàm số $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$ do đó $b>1>a$, $c>1>a$ (2). Quan sát đồ thị ta thấy với $0<x<1$ thì ${\log }_{b}x<{\log }_{c}x$, suy ra $c>b$. Quan sát đồ thị ta thấy với $x>1$ thì ${\log }_{b}x>{\log }_{c}x$, suy ra $c>b$. Suy ra $1<b<c$ (3). Từ (1), (2), (3) suy ra $c>b>a$. Cách khác: Dễ thấy $a<1$, $b>1$, $c>1$. Nên $a$ là số nhỏ nhất. Xét đường thẳng $y=1$ cắt đồ thị hai hàm số $y={\log }_{b}x$ và $y={\log }_{c}x$ lần lượt tại các điểm $B(b;1)$ và $C(c;1)$. Dễ thấy $c>b$ vậy $c>b>a$.

Chọn C. Ta có $f(x)={\log }_2\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{17}{4}}\right)={\log }_2\left(\frac{(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)$. $f(x)+f(1-x)={\log }_2\left(\frac{(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)+{\log }_2\left(\frac{-(2x-1)+\sqrt{(2x-1{)}^2+16}}{2}\right)$ $={\log }_{2}4=2$. Vậy $T=\left[f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2024}{2025}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1012}{2025}\right)+f\left(\frac{1013}{2025}\right)\right]=2.1012=2024$.

a) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$. b) Đúng: $S=[-2;-1)\cup (6;7]$ nên $a+b+c+d=-2-1+6+7=10$. c) Đúng: $D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)$ nên $6a+b=6(-1)+6=0$. d) Sai: phương trình $f(2^x)=m$ luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$; với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, $m\in [-5;5]$ có 5 giá trị $m\in \{1;2;3;4;5\}$.
a) Chọn Sai. Trên $(-\infty ;-1)\cup (6;+\infty )$, ta có: $f^{\prime }(x)=\frac{2x-5}{\left(x^2-5x+6\right)\ln 2}$.
b) Chọn Đúng. Điều kiện: $x^2-5x-6>0\iff \{\begin{array}{l}x<-1\\ x>6\end{array}$. Xét $f(x)\le 3\iff x^2-5x-6\le 8\iff x^2-5x-14\le 0\iff -2\le x\le 7$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)\le 3$ là $S=[-2;-1)\cup (6;7]$. $\Rightarrow a=-2;b=-1;c=6;d=7\Rightarrow a+b+c+d=10$.
c) Chọn Đúng. Ta có: $y=f(\ln (x))={\log }_2\left({\ln }^{2}x-5\ln x-6\right)$. Xét $\{\begin{array}{l}x>0\\ {\ln }^{2}x-5\ln x-6>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}\ln x<-1\\ \ln x>6\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \{\begin{array}{l}x<e^{-1}\\ x>e^6\end{array}\end{array}$. $\Rightarrow D=\left(0;e^{-1}\right)\cup \left(e^6;+\infty \right)\Rightarrow a=-1,b=6\Rightarrow 6a+b=0$.
d) Chọn Sai. Ta có: $y=f\left(2^x\right)={\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)$. Điều kiện: $2^{2x}-5.2^x-6>0\iff \{\begin{array}{l}{2}^x<-1\\ 2^x>6\end{array}\iff x>{\log }_{2}6$. Có $f\left(2^x\right)=m\iff {\log }_2\left(2^{2x}-5.2^x-6\right)=m\iff 2^{2x}-5.2^x-6=2^m$. Xét hàm số $g(x)=2^{2x}-5.2^x-6$; $g^{\prime }(x)=2.2^{2x}\ln 2-5.2^x\ln 2$. $g^{\prime }(x)=0\iff x={\log }_2\frac{5}{2}<{\log }_{2}6$. Bảng xét dấu [Hình cần kiểm tra lại: p22_f1]: dựa vào bảng xét dấu và vì $2^m>0,\forall m\in \mathbb{R}$ nên phương trình $f\left(2^x\right)=m$ luôn có nghiệm với $\forall m\in \mathbb{R}$. Mà $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ và $m\in [-5;5]$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (5 giá trị).