Cho hàm số $f(x)={\log }_3\left(x-\frac{1}{2}+\sqrt{x^2-x+\frac{109}{4}}\right)$. Tính giá trị của biểu thức $T=f\left(\frac{1}{2025}\right)+f\left(\frac{2}{2025}\right)+\dots +f\left(\frac{2024}{2025}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=x-\frac{1}{2}$, khi đó $x^2-x+\frac{109}{4}=u^2+27$ và $f(x)={\log }_3\left(u+\sqrt{u^2+27}\right)$. Xét $f(1-x)$: khi đó $u$ thay bởi $-u$, nên $f(1-x)={\log }_3\left(-u+\sqrt{u^2+27}\right)$. Do đó $f(x)+f(1-x)={\log }_3\left[(u+\sqrt{u^2+27})(-u+\sqrt{u^2+27})\right]={\log }_3(27)=3$. Trong tổng $T$ có 2024 số hạng, ghép từng cặp $f\left(\frac{k}{2025}\right)+f\left(\frac{2025-k}{2025}\right)=3$, được $1012$ cặp. Vậy $T=1012\cdot 3=3048$.