Biết rằng đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{3x+1}+ax+b}{x^2-2x+1}$ không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu $a-b$ bằng:

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ nên tiệm cận đứng chỉ có thể tại $x=1$. Để đồ thị không có tiệm cận đứng, giới hạn khi $x\to 1$ phải hữu hạn, tức tử số phải triệt tiêu bậc đủ tại $x=1$. Đặt $t=x-1$, khi đó $\sqrt{3x+1}=\sqrt{4+3t}=2+\frac{3}{4}t+o(t)$. Tử số: $\sqrt{3x+1}+ax+b=2+a+b+\left(\frac{3}{4}+a\right)t+o(t)$. Điều kiện 1: $2+a+b=0\Rightarrow a+b=-2$. Điều kiện 2 (để giới hạn hữu hạn, không vô cực): $\frac{3}{4}+a=0\Rightarrow a=-\frac{3}{4}$, suy ra $b=-2-\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{5}{4}$. Khi đó $a-b=-\frac{3}{4}-\left(-\frac{5}{4}\right)=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.