Cho $x,y\ge 0$ và $x^2+y^2\ne 0$ thỏa mãn $$\log {\left(\frac{x^2+y^2+25}{x+y}\right)}^{x^2+y^2+10}=\frac{10x+10y-25}{x^2+y^2}+x^2+y^2+9$$

Tính tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức $Q=\frac{3x+4y-10}{x+y}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $p=x^2+y^2$, $s=x+y$ ($s>0$ vì $x,y\ge 0$, $p\ne 0$). Phương trình trở thành $$(p+10)\log \frac{p+25}{s}=\frac{10s-25}{p}+p+9.$$ Đặt $w=\frac{p+25}{s}$ (suy ra $s=\frac{p+25}{w}$). Khi đó $\frac{10s-25}{p}=\frac{10p+250-25w}{wp}$, và phương trình tương đương $$(p+10)(\log w-1)=\frac{(10-w)(p+25)}{wp},$$ tức $$g(w):=(p+10)(\log w-1)+\frac{(p+25)(w-10)}{wp}=0.$$ Ta có $g(10)=0$ và $g^{\prime }(w)=\frac{p+10}{w\ln 10}+\frac{p+25}{wp}>0$ với mọi $w>0$, nên $g$ đơn điệu tăng nghiêm ngặt $\Rightarrow$ phương trình có nghiệm duy nhất $w=10$. Vậy $$\frac{x^2+y^2+25}{x+y}=10⟺x^2+y^2+25=10(x+y)⟺(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25.$$ Đường tròn tâm $(5;5)$ bán kính $5$ tiếp xúc với hai trục tại $(5;0)$, $(0;5)$ nên nằm hoàn toàn trong miền $x,y\ge 0$; do đó tập nghiệm là đường tròn này (với $x+y>0$ luôn đúng vì $\min (x+y)=10-5\sqrt{2}>0$). Xét $Q=\frac{3x+4y-10}{x+y}$. Với $Q$ cố định, điều kiện $3x+4y-10=Q(x+y)$, tức đường thẳng $(3-Q)x+(4-Q)y-10=0$, phải cắt đường tròn. Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của $Q$ xảy ra khi đường thẳng tiếp xúc với $(x-5{)}^2+(y-5{)}^2=25$: $$\frac{|5(3-Q)+5(4-Q)-10|}{\sqrt{(3-Q{)}^2+(4-Q{)}^2}}=5⟺(25-10Q{)}^2=25(2Q^2-14Q+25)$$ $$⟺50Q^2-150Q=0⟺Q=0\text{ hoặc }Q=3.$$ Kiểm tra: tại $(2;1)$ (thuộc đường tròn) $Q=\frac{6+4-10}{3}=0$; tại $(5;10)$ $Q=\frac{15+40-10}{15}=3$. Vì $Q$ liên tục trên đường tròn (liền mạch), $\min Q=0$, $\max Q=3$. Vậy tổng cần tính là $0+3=3$.