Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{{\log }_{2}x-1}$ xác định khi ${\log }_{2}x$ có nghĩa, tức $x>0$, và mẫu số khác 0: ${\log }_{2}x-1\ne 0\iff {\log }_{2}x\ne 1\iff x\ne 2$. Vậy tập xác định là $D=(0;+\infty )\setminus \{2\}$, trùng với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lôgarit: ${\log }_a{a}^2=2$ (vì $a>0$, $a\ne 1$). Do đó $a^{{\log }_a{a}^2}=a^2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lôgarit: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). B sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$; C sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$; D sai vì $\ln \frac{a}{b}\ne \frac{\ln a}{\ln b}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(10-2x)$ xác định khi $10-2x>0\iff x<5$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<a<1$: hàm số $y=a^x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và tập giá trị là $(0;+\infty )$; hàm số $y={\log }_{a}x$ có tập xác định là $(0;+\infty )$ và tập giá trị là $\mathbb{R}$. Do đó A sai (tập giá trị của $y=a^x$ không phải $\mathbb{R}$), B sai (tập xác định của $y={\log }_{a}x$ không phải $\mathbb{R}$), C đúng, D đúng về tập giá trị của $y={\log }_{a}x$ là $\mathbb{R}$. Cả C và D đều đúng về mặt toán học; đáp án chuẩn thường chọn C (tập xác định của hàm số mũ là $\mathbb{R}$).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số mũ $y=a^x$ ($a>0$, $a\ne 1$) luôn đi qua điểm $(0;1)$, nằm phía trên trục hoành, và tăng dần khi $a>1$ (hoặc giảm dần khi $0<a<1$). Xét các hình: Hình A là đường cong đi qua gốc tọa độ (không đi qua $(0;1)$) nên không phải. Hình B và D là đồ thị hàm lôgarit (chỉ xác định khi $x>0$, đi qua $(1;0)$) nên không phải. Hình C là đường cong tăng dần, nằm trên trục hoành và đi qua điểm $(0;1)$ — đúng là đồ thị hàm số mũ với $a>1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2^x$ với cơ số $2>1$. a) Tập xác định $D=\mathbb{R}$: đúng. b) Vì $2>1$ nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến: sai. c) Tại $x=2$, $y=2^2=4$ nên đồ thị đi qua $A(2;4)$: đúng. d) Thay $x$ bằng $-x$ trong $y=2^x$ được $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$, nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm mũ $y=2^x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$, hàm số $y=2^x$ đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$, không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=2$: $y=2^2=4$, nên đồ thị đi qua điểm $A(2;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{2}\right)}^x=2^{-x}$, là kết quả của phép đối xứng $x\mapsto -x$ qua trục tung, nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<a\ne 1$: A đúng vì ${\log }_{a}a=1$; B đúng vì ${\log }_{a}1=0$; D đúng theo định nghĩa logarit: $5^{{\log }_{5}a}=a$. C sai vì $a^{{\log }_{5}a}=a$ chỉ đúng khi $a=5$, nói chung $a^{{\log }_{5}a}\ne a$ (đúng phải là $5^{{\log }_{5}a}=a$ hoặc $a^{{\log }_{a}5}=5$). Vậy mệnh đề sai là C, khớp đáp án nguồn (MD 1112, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $0<a\ne 1$: ${\log }_{a}1=0$ (đúng vì $a^0=1$); ${\log }_{a}a=1$ (đúng vì $a^1=a$); $5^{{\log }_{5}a}=a$ (đúng theo định nghĩa logarit). Còn $a^{{\log }_{5}a}=a$ chỉ đúng khi ${\log }_{5}a=1$, tức $a=5$, không đúng với mọi $0<a\ne 1$, nên mệnh đề này sai. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (MD 1111, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và $x,y>0$ thì ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó mệnh đề đúng là A. Phương án B sai vì $x-y$ có thể âm và log của thương không bằng log của hiệu; C là công thức của tích; D không phải là tính chất logarit.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với mọi $a,b>0$ ta có $\log (ab)=\log a+\log b$. Các phương án A, B sai vì logarit của tích (thương) không bằng tích (thương) các logarit. Phương án D sai vì đúng phải là $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của thương, với $a,b>0$ ta có $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$. Các mệnh đề còn lại sai vì $\log (ab)=\log a+\log b$ (không phải tích hay hiệu của hai logarit) và $\log \frac{a}{b}\ne \frac{\log a}{\log b}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức đổi cơ số, với $a>0$, $b>0$, $b\ne 1$ ta có ${\log }_{b}a=\frac{\ln a}{\ln b}$. Các phương án A, B, C sai vì $\ln a+\ln b=\ln (ab)$, không phải $\ln (a+b)$; $\ln (a+b)\ne \ln a\cdot \ln b$; và $\ln a-\ln b=\ln \frac{a}{b}$ (còn $a-b$ có thể âm). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa logarit, ${\log }_{a}a=1$ (vì $a^1=a$), nên mệnh đề ${\log }_{a}a=2a$ ở phương án A là SAI. Các phương án còn lại đều đúng: ${\log }_a{a}^{\alpha }=\alpha$ (tính chất lũy thừa của logarit), ${\log }_{a}1=0$ (vì $a^0=1$), và $a^{{\log }_{a}b}=b$ (tính chất cơ bản của logarit với $a>0$, $a\ne 1$, $b>0$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit tự nhiên: với mọi $a,b>0$ ta có $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, nên A đúng. B sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, không phải thương $\frac{\ln a}{\ln b}$. C sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. D sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ (đề viết ngược thứ tự).

(AI giải đề cho tôi)
A, B, C đều là các tính chất đúng của lôgarit: ${\log }_a{a}^c=c$, ${\log }_{a}a=1$, ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ (với $b>0$). Mệnh đề D sai vì không có tính chất ${\log }_a|b-c|={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$; nói chung ${\log }_a|b-c|\ne {\log }_{a}b-{\log }_{a}c$ (ví dụ $b=1,c=2$: vế trái $={\log }_{a}1=0$, vế phải $={\log }_{a}1-{\log }_{a}2=-{\log }_{a}2\ne 0$). Vậy mệnh đề sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 22 (trang 9–10): Với $a>0$, ta có ${\log }_3(3a)={\log }_{3}3+{\log }_{3}a=1+{\log }_{3}a$ vì ${\log }_{3}3=1$. Vậy đáp án đúng là C. (Lưu ý: các lỗi trước đó nhầm với câu 23 dùng ${\log }_5$; câu 22 thực tế là ${\log }_3(3a)$, khớp với phương án C.)

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, theo tính chất logarit của một tích: ${\log }_5(5a)={\log }_{5}5+{\log }_{5}a=1+{\log }_{5}a$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_4(4a)={\log }_{4}4+{\log }_{4}a=1+{\log }_{4}a$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_6(6a)={\log }_{6}6+{\log }_{6}a=1+{\log }_{6}a$. Vậy đáp án đúng là D.