Cho ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^m<{\left(\sqrt{2}-1\right)}^n$. Khi đó

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $a\ne 1$, ${\log }_{a^5}b$ bằng:

Với $a$ là số thực dương tùy ý, $\ln (7a)-\ln (3a)$ bằng

Với $a$ là số thực dương tùy ý, ${\log }_3\left(\frac{3}{a}\right)$ bằng:

Đặt $a={\log }_{3}2$, khi đó ${\log }_{6}48$ bằng

Tìm tập xác định của hàm số $y={\log }_{\sqrt{5}}\frac{1}{6-x}$.

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên tập xác định của nó?

Đồ thị hàm số $y=\ln x$ đi qua điểm nào sau đây?

Tìm m để hàm số $y=\ln (x^2-2mx+1)$ có tập xác định là R?

Nghiệm của phương trình ${\log }_3(2x-1)=2$ là:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x^2-5x+7\right)=0$ bằng

Nghiệm của phương trình $3^x=2$ là

Tính tổng $S=x_1+x_2$ biết $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của phương trình $2^{x^2-6x+1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{x-3}$ .

Tập nghiệm của bất phương trình $\log x\ge 1$ là

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{5}}\left(2x^2-x+1\right)<0$ là

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình $\ln x^2>\ln (4x-4)$.

Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+3x}<\frac{1}{4}$ .

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x^2-3x-7}>3^{2x-21}$ là

Một hộp có 70 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 70. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Kí hiệu a là số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố “a là ước của 28”, B là biến cố “a là ước của 70”, biến cố $C=A\cap B$ . Ta có biến cố C:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hai đường thẳng $a,b$ phân biệt và mặt phẳng $(P)$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$, $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$ (tham khảo hình vẽ). Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp (ABCD)$, $ABCD$ là hình chữ nhật (tham khảo hình vẽ). Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai?

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng:

Cho biểu thức $9^{\frac{2}{5}}\cdot 27^{\frac{2}{5}}=A$ và $144^{\frac{3}{4}}:9^{\frac{3}{4}}=B$, các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho hàm số $y=2^x$, các khẳng định sau đúng hay sai?

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Các khẳng định sau đúng hay sai?

Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là 5\% một năm thì sức mua của 1 triệu đồng sau một năm chỉ còn là 950 nghìn đồng (vì đã giảm mất 5\% của 1 triệu đồng, tức là 50000 đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là $r\%$ một năm thì tổng số tiền $P$ ban đầu, sau $n$ năm số tiền đó chỉ còn giá trị là: $A=P{\left(1-\frac{r}{100}\right)}^n$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc với nhau. Gọi $OK$ là đường cao của tam giác $OBC$ và $OH$ là đường cao của tam giác $OAK$. Khi đó:

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi. Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của đoạn $SB,SD$. Khi đó:

Cho $a>0;b>0$ nếu viết ${\log }_3{\left(\sqrt[5]{a^{3}b}\right)}^{\frac{2}{3}}=\frac{x}{5}{\log }_{3}a+\frac{y}{15}{\log }_{3}b$ thì $x+y$ bằng bao nhiêu?

Biết $4^x+4^{-x}=23$, tính giá trị biểu thức $P=2^x+2^{-x}$.

Biết biểu thức $P={\left(5+2\sqrt{6}\right)}^{2024}\cdot {\left(5-2\sqrt{6}\right)}^{2025}=a-2\sqrt{c}$ với $a;c$ là số tự nhiên. Tính giá trị $a^{c-2}$.

Với $a,b$ là các số thực dương và $a$ khác 1 ta rút gọn biểu thức $Q=\sqrt{{\log }_a^2(ab)-\frac{2\ln b}{\ln a}-1}$ thu được kết quả $m\left|{\log }_a{b}^n\right|$ với $m;n$ là các số tự nhiên. Tính giá trị $S=m+2n$

Cho $a,b>0$ và đều khác 1 thoả mãn $\ln a+\ln (8b)=2\ln (a+2b)$. Rút gọn biểu thức: $P={\log }_b(2a)+{\log }_{\frac{a}{2}}(2b)-\frac{1}{{\log }_{8}b}$ được kết quả bằng bao nhiêu?

Cho hàm số $y={\log }_3(5x-3)$. Giả sử $A,B$ là hai điểm phân biệt trên đồ thị của hàm số $y={\log }_3(5x-3)$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn $OB$. Khi đó, $AB$ có độ dài bằng $\frac{\sqrt{a}}{b}$ với $b$ là số nguyên tố. Tính $a-b^2$.

Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={\log }_{0,5}\left(m{x}^2-mx+1\right)$ xác định trên $\mathbb{R}$.

Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${\log }_2\left(x^2-3x+2\right)\le 1$.

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_3(x-2)-{\log }_{\frac{1}{3}}x>1$ là $S=(a;+\infty )$. Tìm giá trị $a$

Bác Hà gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi kép 6\%/năm. Biết rằng lãi kép là hình thức gửi tiền, nếu đến kỳ hạn người gửi không rút tiền lãi thì số tiền lãi sẽ được cộng dồn vào tiền vốn cho kỳ tiếp theo. Hãy tính số tiền cả gốc lẫn lãi bác Hà nhận được sau khi gửi ngân hàng 10 năm.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$. Biết $SH\perp (ABCD)$. Góc giữa hai đường thẳng $BK,SC$ bằng bao nhiêu độ?

Anh Việt có 200 triệu đồng gửi ngân hàng kỳ hạn là 1 năm với lãi suất 6,5\% một năm theo hình thức lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi cho kỳ sau. Hỏi anh Việt phải gửi ít nhất bao nhiêu năm thì số tiền cả gốc lẫn lãi nhận được là trên 500 triệu đồng (biết rằng anh Việt không rút trước tiền trong suốt thời gian gửi)?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành, tam giác $SAB$ là tam giác đều. Tính sin của góc giữa đường thẳng $SA$ và $DC$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=2$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$. Tính độ dài đoạn thẳng $MN$ biết góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $MN$ bằng $30^{\circ }$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Tính giá trị của các biểu thức: $A=2{\log }_{4}8-3{\log }_{\frac{1}{3}}16+4^{{\log }_{2}3}$; $B=9^{2{\log }_{3}2+4{\log }_{81}2}$.

Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) $y=2^{x+1}$ b) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$

Giả sử giá trị còn lại $V$ (triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau $t$ năm được cho bởi công thức: $V(t)=730.(0,82{)}^t$.

a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?

b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $2^{x^2+2x}=8^{2-x}$ b) ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x-1}={\left(\sqrt{5}-2\right)}^{\frac{x-1}{x+1}}$ c) ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)=1$

d) ${\log }_3\left(x^2+4x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)=0$ e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-1}\ge 4.2^x$ g) $2^x+2^{x+1}\le 3^x+3^{x-1}$

h) ${\log }_3\left(36-x^2\right)\ge 3$ k) ${\log }_{0,3}(5-2x)>{\log }_{\frac{3}{10}}9$

Bạn An và Bình, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

A: “Cả hai đồng xu bạn An gieo đều ra mặt sấp”.

B: “Hai đồng xu bạn Bình gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng A và B là hai biến cố độc lập.

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ tâm $O$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{6}$. $AM,AN$ là các đường cao của tam giác $SAB$ và $SAD$;

a) Chứng minh rằng các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.

b) Gọi $P$ là trung điểm của $SC$. Chứng minh rằng $OP\perp (ABCD)$.

c) Chứng minh: $BD\perp (SAC),MN\perp (SAC)$.

d) Chứng minh: $AN\perp (SCD);AM\perp SC$

e) $SC\perp (AMN)$

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là một hình thang vuông có $BC$ là đáy nhỏ và góc $ACD=90^0$, $SA\perp (ABCD)$.

a) Chứng minh tam giác $SCD,SBC$ là các tam giác vuông.

b) Kẻ $AH\perp SB$, chứng minh $AH\perp (SBC)$.

c) Kẻ $AK\perp SC$, chứng minh $AK\perp (SCD)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, cạnh $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $AB=a\sqrt{2},SA=a\sqrt{3},BC=a$.

a) Chứng minh $CD\perp (SAD)$.

b) Chứng minh $\Delta SBC$ là tam giác vuông.

c) Xác định và tính góc giữa $SC$ và $AB$.

d) Gọi $E$ là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh $BD\perp SE$.