Giải các phương trình, bất phương trình sau:

a) $2^{x^2+2x}=8^{2-x}$ b) ${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{x-1}={\left(\sqrt{5}-2\right)}^{\frac{x-1}{x+1}}$ c) ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)=1$

d) ${\log }_3\left(x^2+4x\right)+{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)=0$ e) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-1}\ge 4.2^x$ g) $2^x+2^{x+1}\le 3^x+3^{x-1}$

h) ${\log }_3\left(36-x^2\right)\ge 3$ k) ${\log }_{0,3}(5-2x)>{\log }_{\frac{3}{10}}9$

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 (Phần 4 - Tự luận), giải từng câu:

a) $2^{x^2+2x}=8^{2-x}=2^{3(2-x)}=2^{6-3x}$ nên $x^2+2x=6-3x\iff x^2+5x-6=0\iff (x-1)(x+6)=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-6$.

b) Vì $\sqrt{5}-2=\frac{1}{\sqrt{5}+2}=(\sqrt{5}+2{)}^{-1}$, phương trình trở thành $(\sqrt{5}+2{)}^{x-1}=(\sqrt{5}+2{)}^{-\frac{x-1}{x+1}}$, tức $x-1=-\frac{x-1}{x+1}$ (điều kiện $x\ne -1$). Suy ra $(x-1)\left(1+\frac{1}{x+1}\right)=0\iff (x-1)\cdot \frac{x+2}{x+1}=0$. Vậy $x=1$ hoặc $x=-2$ (thỏa mãn điều kiện).

c) Điều kiện $x>1$. Đổi cơ số: ${\log }_{\sqrt{2}}(x-1)=2{\log }_2(x-1)$, ${\log }_{1/2}(x+1)=-{\log }_2(x+1)$. Phương trình: $2{\log }_2(x-1)-{\log }_2(x+1)=1\iff {\log }_2\frac{(x-1{)}^2}{x+1}=1\iff (x-1{)}^2=2(x+1)\iff x^2-4x-1=0\iff x=2\pm \sqrt{5}$. Kết hợp điều kiện $x>1$ ta được $x=2+\sqrt{5}$.

d) Điều kiện: $x^2+4x>0$ và $2x+3>0$, tức $x>0$. Vì ${\log }_{1/3}(2x+3)=-{\log }_3(2x+3)$, phương trình thành ${\log }_3\frac{x^2+4x}{2x+3}=0\iff x^2+4x=2x+3\iff x^2+2x-3=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Chỉ $x=1$ thỏa điều kiện. Vậy $x=1$.

e) $(1/2{)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x\iff 2^{1-3x}\ge 2^{x+2}$. Vì cơ số $2>1$: $1-3x\ge x+2\iff -4x\ge 1\iff x\le -\frac{1}{4}$. Vậy $S=\left(-\infty ;-\frac{1}{4}\right]$.

g) $2^x+2^{x+1}=3\cdot 2^x$; $3^x+3^{x-1}=\frac{4}{3}\cdot 3^x$. Bất phương trình: $3\cdot 2^x\le \frac{4}{3}\cdot 3^x\iff \frac{2^x}{3^x}\le \frac{4}{9}\iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^x\le \frac{4}{9}$. Vì cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên hàm số nghịch biến: $x\ge {\log }_{2/3}\frac{4}{9}=\frac{\ln (4/9)}{\ln (2/3)}=2$. Vậy $S=[2;+\infty )$. (Kiểm tra: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ đúng.)

h) Điều kiện $36-x^2>0\iff -6<x<6$. Bất phương trình: $36-x^2\ge 3^3=27\iff x^2\le 9\iff -3\le x\le 3$ (thỏa điều kiện). Vậy $S=[-3;3]$.

k) Cùng cơ số $0,3=\frac{3}{10}<1$ nên hàm ${\log }_{0,3}t$ nghịch biến. Điều kiện $5-2x>0\iff x<\frac{5}{2}$. Bất phương trình: $5-2x<9\iff -2x<4\iff x>-2$. Vậy $S=\left(-2;\frac{5}{2}\right)$.