Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Con ếch nhảy từ mỗi lá đến 3 lá khác nên sau $n$ lần nhảy có $3^n$ cách: $a_n+b_n=3^n$. a) Sau 2 lần về lá 1: nhảy $1\to x$ ($x\in \{2,3,4\}$) rồi $x\to 1$, có 3 cách nên $a_2=3$, đúng. b) $b_2=3^2-a_2=9-3=6$, đúng. c) Để sau $n+1$ lần nhảy ở lá 1, sau $n$ lần ếch phải ở lá khác 1 ($b_n$ cách) và từ đó nhảy về lá 1 (đúng 1 cách), nên $a_{n+1}=b_n$. Vì $a_1=0$ (sau 1 lần nhảy không thể ở lá 1) nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$, mệnh đề đúng. d) Với hệ thức $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ (từ lá khác 1 có 1 cách về lá 1, 2 cách sang lá khác 1): $a_1=0$, $b_1=3$; $a_2=3$, $b_2=6$; $a_3=6$, $b_3=21$; $a_4=21$, $b_4=60$; $a_5=60$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhảy $1\to x$ rồi $x\to 1$ với $x\in \{2,3,4\}$: $a_2=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách sau 2 lần nhảy là $3^2=9$, nên $b_2=9-3=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a_{n+1}=b_n$ vì từ mỗi trạng thái khác lá 1 chỉ có đúng 1 cách nhảy về lá 1; mà $a_1=0$ nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Truy hồi $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ cho $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=21$, $a_5=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=4$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_4=\frac{3\cdot 4+6}{4-1}=\frac{18}{3}=6$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=(-1{)}^n$ nhận hai giá trị $-1$ và $1$ xen kẽ: $u_1=-1,u_2=1,u_3=-1,\dots$ Khi $u_n=-1$ thì $u_{n+1}>u_n$, nhưng khi $u_n=1$ thì $u_{n+1}<u_n$, nên dãy không thỏa mãn định nghĩa dãy tăng cũng không thỏa mãn định nghĩa dãy giảm. Các số hạng không bằng nhau nên dãy không phải dãy không đổi. Vậy dãy không tăng, không giảm, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số có số hạng tổng quát $u_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ với $n\ge 1$. Ta có $u_{n+1}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2}{u}_n<u_n$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (vì $u_n>0$). Vậy $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$, tức dãy số $(u_n)$ là dãy giảm. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+6-(3n+6)=3>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên dãy số $(u_n)$ là dãy tăng. Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại dãy: $\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{5}{7},\dots =\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{4}{6},\frac{5}{7},\dots$ (vì $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$). Xét đáp án C: với $u_n=\frac{n+1}{n+3}$ ta có $u_1=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, $u_2=\frac{3}{5}$, $u_3=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $u_4=\frac{5}{7}$, khớp với dãy đã cho. Các đáp án A, B, D không khớp (A cho $u_2=\frac{2}{3}$, D cho $u_1=\frac{2}{3}$, B cho $u_1=\frac{1}{2}$ nhưng $u_2=\frac{1}{2}$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=1$ và $u_{n+1}=u_n-2$: $u_2=1-2=-1$, $u_3=-1-2=-3$, $u_4=-3-2=-5$, $u_5=-5-2=-7$. Vậy năm số hạng đầu là $1,-1,-3,-5,-7$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3}$, $u_2=\frac{1}{3^2}$, $u_3=\frac{1}{3^3}$, ... nên $u_n=\frac{1}{3^n}$. Kiểm tra: với $n=1$ được $\frac{1}{3}$, với $n=2$ được $\frac{1}{9}$, đúng với các số hạng đã cho. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $-1,1,-1,\dots$ có $u_1=-1$, $u_2=1$, $u_3=-1$. Xét $u_n=(-1{)}^n$: với $n=1$ ta được $-1$, $n=2$ ta được $1$, $n=3$ ta được $-1$, khớp với dãy đã cho. (Lưu ý $u_n=(-1{)}^{n+1}$ cho $u_1=1$, không khớp.) Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy có $u_1=0,1=\frac{1}{10}$, $u_2=0,01=\frac{1}{10^2}$, $u_3=0,001=\frac{1}{10^3}$, nên $u_n=\frac{1}{10^n}$. Về dạng thập phân, $u_n=0,\underset{n-1\text{ soˆˊ }0}{\underbrace{00\dots 0}}1$ (ví dụ $n=1$: $0,1$ có 0 số 0; $n=2$: $0,01$ có 1 số 0). Do đó đáp án B. Lưu ý C sai vì $\frac{1}{10^{n-1}}$ cho $u_1=1$; D sai vì $\frac{1}{10^{n+1}}$ cho $u_1=0,001$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1$: $u_1=\frac{1}{3^1-1}=\frac{1}{2}$; $n=2$: $u_2=\frac{2}{9-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$; $n=3$: $u_3=\frac{3}{27-1}=\frac{3}{26}$. Vậy ba số hạng đầu là $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{3}{26}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}$. a) $u_1=\frac{9}{2}$ đúng. b) $u_1=\frac{9}{2},u_2=\frac{13}{3},u_3=\frac{17}{4}$, tổng $=\frac{54+52+51}{12}=\frac{157}{12}$ không nguyên, sai. c) $u_{20}=4+\frac{1}{21}=\frac{85}{21}$ đúng. d) Vì $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$ nên $4<u_n\le \frac{9}{2}$, dãy bị chặn trên (ví dụ $M=\frac{9}{2}$), đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{4\cdot 1+5}{1+1}=\frac{9}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1+u_2+u_3=\frac{9}{2}+\frac{13}{3}+\frac{17}{4}=\frac{157}{12}$ không phải số nguyên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=\frac{85}{21}=4+\frac{1}{21}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=4+\frac{1}{n+1}\le \frac{9}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 50 là $0;2;4;...;48$ — chỉ có 25 số hạng, nên là dãy hữu hạn. Các dãy còn lại (số nguyên tố lớn hơn 10, số chia hết cho 5, số chính phương) đều có vô số số hạng, là dãy vô hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy ở B có dạng $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{2^n};...$ với số hạng tổng quát $u_n=\frac{1}{2^n}$, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, có vô hạn số hạng nên là dãy vô hạn. Các dãy A, C, D chỉ có hữu hạn số hạng (6, 5, 5 số hạng) nên là dãy hữu hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{n}{n+1}$ tăng vì $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$. B) $u_n=n^3$ tăng. C) $u_n=2n$ tăng. D) $u_n=-n^2$: $u_{n+1}-u_n=-(n+1{)}^2+n^2=-2n-1<0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy giảm. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=n^2$, $u_n=2^n$, $u_n=\sqrt{n+1}$ đều tăng không giới hạn nên không bị chặn. Dãy $u_n=\frac{1}{n+1}$ thỏa $0<u_n\le \frac{1}{2}$ với mọi $n\ge 1$, nên bị chặn (bị chặn trên bởi $\frac{1}{2}$ và chặn dưới bởi $0$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp theo hệ thức truy hồi: $u_2=5u_1+2=5(-3)+2=-13$; $u_3=5u_2+2=5(-13)+2=-63$; $u_4=5u_3+2=5(-63)+2=-313$. Vậy $u_4=-313$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=1$, $u_2=4$, truy hồi $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$. Suy ra $u_3=u_2+u_1=4+1=5$; $u_4=u_3+u_2=5+4=9$; $u_5=u_4+u_3=9+5=14$. Vậy số hạng thứ năm của dãy bằng 14.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 6: $u_6=2\cdot 6+3=15$. Vậy chọn C.