Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Con ếch nhảy từ mỗi lá đến 3 lá khác nên sau $n$ lần nhảy có $3^n$ cách: $a_n+b_n=3^n$. a) Sau 2 lần về lá 1: nhảy $1\to x$ ($x\in \{2,3,4\}$) rồi $x\to 1$, có 3 cách nên $a_2=3$, đúng. b) $b_2=3^2-a_2=9-3=6$, đúng. c) Để sau $n+1$ lần nhảy ở lá 1, sau $n$ lần ếch phải ở lá khác 1 ($b_n$ cách) và từ đó nhảy về lá 1 (đúng 1 cách), nên $a_{n+1}=b_n$. Vì $a_1=0$ (sau 1 lần nhảy không thể ở lá 1) nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$, mệnh đề đúng. d) Với hệ thức $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ (từ lá khác 1 có 1 cách về lá 1, 2 cách sang lá khác 1): $a_1=0$, $b_1=3$; $a_2=3$, $b_2=6$; $a_3=6$, $b_3=21$; $a_4=21$, $b_4=60$; $a_5=60$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhảy $1\to x$ rồi $x\to 1$ với $x\in \{2,3,4\}$: $a_2=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách sau 2 lần nhảy là $3^2=9$, nên $b_2=9-3=6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a_{n+1}=b_n$ vì từ mỗi trạng thái khác lá 1 chỉ có đúng 1 cách nhảy về lá 1; mà $a_1=0$ nên $b_n-a_1=b_n=a_{n+1}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Truy hồi $a_{n+1}=b_n$, $b_{n+1}=3a_n+2b_n$ cho $a_2=3$, $a_3=6$, $a_4=21$, $a_5=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+1}{3n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}$.
a) Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}\Rightarrow 101(n+1)=99n\Rightarrow n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy khẳng định a) SAI.
b) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số; ví dụ $u_2-u_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng, khẳng định b) SAI.
c) $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+2}{3(n+1)}\cdot \frac{3n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$). Vậy $(u_n)$ không là cấp số nhân, khẳng định c) SAI.
d) Với $n\ge 2$: $v_n=v_1\cdot u_1{u}_2\cdots u_{n-1}=\frac{1}{3}\cdot \prod _{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$ (công thức đúng cả với $n=1$). Do đó $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}$ cho $n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{33}{101}$ không là số hạng của dãy.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số: $u_2-u_1=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$), nên không là cấp số nhân.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{1}{3}{\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{n}{3^n}$, nên $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ (tính theo tỷ vi khuẩn, tức đơn vị $10^9$) là số vi khuẩn còn sống ngay trước lần dùng thuốc thứ $n$; $a_0=2\cdot 10^9$ là số ban đầu. Sau mỗi lần dùng thuốc, số vi khuẩn giảm $4\cdot 10^8=0,4\cdot 10^9$, rồi tăng $15\%$: $$a_n=1,15(a_{n-1}-0,4).$$

Tính trực tiếp (đơn vị $10^9$):
- $a_1=1,15(2-0,4)=1,84$
- $a_2=1,15(1,84-0,4)=1,656$
- $a_3=1,15(1,656-0,4)=1,4444$
- $a_4=1,15(1,4444-0,4)=1,20106$
- $a_5=1,15(1,20106-0,4)=0,921219$

Kiểm tra bằng công thức đóng: phương trình bất động $L=1,15(L-0,4)$ cho $L=\frac{46}{15}$, nên $a_n=\frac{46}{15}-\frac{16}{15}\cdot 1,15^n$. Với $1,15^5=2,0113571875$: $a_5=\frac{46-16\cdot 2,0113571875}{15}=0,921219$ (đúng khớp).

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là $0,921219\cdot 10^9=921219000$ vi khuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_5=2(25+5)=60$ → Đúng. b) Giải $2(n^2+n)=4150\iff n^2+n-2075=0$, $\Delta =1+8300=8301$ không là số chính phương nên không có $n$ nguyên → Sai. c) $u_{n+1}-u_n=2[(n+1{)}^2+(n+1)-n^2-n]=4(n+1)>0$ nên dãy tăng → Sai. d) $\frac{6}{u_n}=\frac{6}{2n(n+1)}=3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$, nên $S_n=3\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<3$ với mọi $n$, tức dãy bị chặn trên tại 3 → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 469: Đ – S – S – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=2(5^2+5)=2\cdot 30=60$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2(n^2+n)=4150\iff n^2+n-2075=0$ có $\Delta =8301$ không chính phương, không có nghiệm nguyên $n$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=4(n+1)>0$ nên dãy tăng, không phải dãy giảm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{6}{u_n}=3\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ nên $S_n=3\left(1-\frac{1}{n+1}\right)<3$: dãy bị chặn trên tại 3.

(AI giải đề cho tôi)
a) $u_7=7^2+7=56\ne 65$ → Sai.
b) Giải $n^2+n=5800$ → $n^2+n-5800=0$, $\Delta =1+23200=23201$, $\sqrt{23201}\approx 152,32$ không chính phương nên $n$ không nguyên → 5800 không là số hạng của dãy → Sai.
c) $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2+(n+1)-n^2-n=2n+2>0$ với mọi $n\ge 1$ → dãy tăng → Đúng.
d) $\frac{5}{u_k}=\frac{5}{k(k+1)}=5\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$, nên $S_n=5\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5n}{n+1}$, dãy tăng và tiến tới 5. Vì $S_{50}=\frac{250}{51}\approx 4,902>\frac{49}{10}=4,9$ nên dãy không bị chặn trên tại $\frac{49}{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 357: S – S – Đ – S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_7=7^2+7=56\ne 65$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $n^2+n=5800$ có $\Delta =23201$, $\sqrt{23201}\approx 152,32$ không nguyên, nên không có $n$ nguyên thỏa mãn; 5800 không là số hạng của dãy.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n+2>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy số tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{5}{k(k+1)}=5\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ nên $S_n=5\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{5n}{n+1}\to 5$. Dãy tăng và $S_{50}=\frac{250}{51}\approx 4,902>4,9=\frac{49}{10}$, nên dãy không bị chặn trên tại $\frac{49}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n+1$ thì $v_n=2v_{n-1}$, $v_1=2$, nên $v_n=2^n$, tức $u_n=2^n-1$. Khi đó $S={\sum }_{n=1}^{20}(2^n-1)=(2^{21}-2)-20=2^{21}-22$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $u_{n+1}+3=4(u_n+3)$ với $u_1+3=5$, suy ra $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$. a) Công thức $u_n=4\cdot 3^{n-1}-2$ cho $u_2=10\ne 17$ nên Sai. b) $u_2=4\cdot 2+9=17$, Đúng. c) $S_{10}=5\cdot \frac{4^{10}-1}{3}-30=5\cdot 349525-30=1747595$, Đúng. d) $u_{n+1}-u_n=3u_n+9>0$ nên dãy tăng, không giảm, Sai. Khớp đáp án nguồn (SDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$ (từ $u_{n+1}+3=4(u_n+3)$). Thử $n=2$: $4\cdot 3-2=10\ne u_2=17$, nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=4u_1+9=4\cdot 2+9=17$, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=5\cdot 4^{n-1}-3$: $S_{10}=5\cdot \frac{4^{10}-1}{4-1}-3\cdot 10=5\cdot 349525-30=1747595$, Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=3u_n+9>0$ vì $u_n\ge 2$, nên dãy tăng, không phải dãy giảm, Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$: $u_1=1$, $u_{n+1}=3u_n+4$. a) Đặt $v_n=u_n+2$ thì $v_{n+1}=u_{n+1}+2=3u_n+6=3(u_n+2)=3v_n$, nên $(v_n)$ cấp số nhân công bội 3 với $v_1=3$, suy ra $u_n=v_n-2=3\cdot 3^{n-1}-2=3^n-2$ (đúng). b) $u_5=3^5-2=243-2=241\ne 119$ (sai). c) $u_2=3\cdot 1+4=7$ (đúng). d) Như trên, khi $a=2$, $v_{n+1}=3v_n$ nên $(v_n)$ là cấp số nhân (đúng). Khớp đáp án chính thức ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n+2$ thì $v_{n+1}=3v_n$, $v_1=3$, nên $u_n=3\cdot 3^{n-1}-2=3^n-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_5=3^5-2=241\ne 119$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=3u_1+4=3+4=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$: $v_{n+1}=u_{n+1}+2=3u_n+6=3(u_n+2)=3v_n$, nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội 3.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $a=1$ vào phương trình hàm: $f(x+1)=f(x)+f(1)-2f(x)f(1)=f(x)+1-2f(x)=1-f(x)$ (vì $f(1)=1$). Với $x=0$: $f(1)=1-f(0)\Rightarrow f(0)=0$. Do đó dãy giá trị xen kẽ: $f(n)=1$ khi $n$ lẻ, $f(n)=0$ khi $n$ chẵn. Cụ thể $f(2027)=f(1)=1$ (vì $2027=2\cdot 1013+1$) và $f(2026)=f(0)=0$ (vì $2026$ chẵn). Vậy $H=f(2027)+f(2026)=1+0=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}$.

**1) Chứng minh dãy tăng:**
Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**2) Chứng minh dãy bị chặn trên:**
Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, do đó:
$$u_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.$$
Vì $\frac{1}{n+1}>0$ nên $u_n<1$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $1$.

Kết luận: dãy số $(u_n)$ tăng và bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số $(u_n)$ với $u_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{n^2}$, tức $u_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k^2}$.

**1) Tính tăng, giảm:**

Với mọi $n\ge 1$, ta có:
$$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1{)}^2}>0.$$

Vậy $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n\ge 1$, do đó dãy số $(u_n)$ là dãy số **tăng**.

**2) Tính bị chặn:**

- **Bị chặn dưới:** Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_n\ge u_1=1>0$. Vậy dãy bị chặn dưới bởi $1$.

- **Bị chặn trên:** Với mọi $k\ge 2$, ta có $k^2\ge k(k-1)$, suy ra:
$$\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}(k\ge 2).$$

Do đó với $n\ge 2$:
$$u_n=1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^2}\le 1+\sum _{k=2}^n\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)=1+\left(1-\frac{1}{n}\right)=2-\frac{1}{n}<2.$$

(Với $n=1$: $u_1=1<2$, bất đẳng thức vẫn đúng.)

Vậy $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$, tức dãy số $(u_n)$ **bị chặn** (bị chặn dưới bởi $1$ và bị chặn trên bởi $2$).

**Kết luận:** Dãy số $(u_n)$ là dãy số tăng và bị chặn (cụ thể $1\le u_n<2$ với mọi $n\ge 1$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_0=2\cdot 10^9$ là số vi khuẩn ban đầu. Sau mỗi 4 giờ: vi khuẩn tăng $15\%$ rồi bị tiêu diệt $4\cdot 10^8$ con, tức $a_n=1,15a_{n-1}-4\cdot 10^8$. Trước lần dùng thuốc thứ năm nghĩa là đã thực hiện 4 liều và vi khuẩn đang tăng trưởng sau liều thứ tư.

$a_1=2,3\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,9\cdot 10^9$

$a_2=1,9\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,785\cdot 10^9$

$a_3=1,785\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,65275\cdot 10^9$

$a_4=1,65275\cdot 1,15\cdot 10^9-0,4\cdot 10^9=1,5006625\cdot 10^9$

Trước lần dùng thuốc thứ năm, vi khuẩn tăng thêm $15\%$:
$a_4\cdot 1,15=1,5006625\cdot 1,15\cdot 10^9=1,725761875\cdot 10^9$.

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần dùng thuốc thứ năm là $1725761875$ vi khuẩn (xấp xỉ $1,73\cdot 10^9$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=u_1\cdot {\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$. Do đó $\frac{u_n}{n}=\frac{1}{3^n}$, nên $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{59049}\right)=\frac{29524}{59049}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n-\frac{1}{2}$ (điểm bất động của $x\mapsto 3x-1$ là $x=\frac{1}{2}$). Khi đó $v_n=3v_{n-1}$, nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $3$ với $v_1=u_1-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$. Suy ra $u_n=\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}$. Do đó $2u_n-1=-5\cdot 3^{n-1}$, nên $\frac{2u_{2026}-1}{3^{2026}}=\frac{-5\cdot 3^{2025}}{3^{2026}}=-\frac{5}{3}$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $v_n=u_n+\frac{1}{2}$. Khi đó $v_n=u_n+\frac{1}{2}=3u_{n-1}-1+\frac{1}{2}=3\left(u_{n-1}+\frac{1}{2}\right)=3v_{n-1}$, nên $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $q=3$ với $v_1=-2+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$. Suy ra $u_n=-\frac{5}{2}\cdot 3^{n-1}-\frac{1}{2}$. Do đó $2u_n-1=-5\cdot 3^{n-1}-2$, nên $$\frac{2u_{2026}-1}{3^{2026}}=\frac{-5\cdot 3^{2025}-2}{3^{2026}}=-\frac{5}{3}-\frac{2}{3^{2026}}\approx -\frac{5}{3}.$$ Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{n+1}=\frac{n+1}{4n}{u}_n$. Suy ra $\frac{u_{n+1}}{n+1}=\frac{u_n}{4n}$, tức là dãy $a_n=\frac{u_n}{n}$ thỏa $a_{n+1}=\frac{a_n}{4}$ với $a_1=\frac{u_1}{1}=\frac{1}{4}$. Vậy $a_n=\frac{1}{4^n}$, tức $u_n=\frac{n}{4^n}$. Do đó $u_1+\frac{u_2}{2}+\cdots +\frac{u_{20}}{20}={\sum }_{n=1}^{20}\frac{1}{4^n}=\frac{\frac{1}{4}\left(1-4^{-20}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\left(1-4^{-20}\right)\approx 0,3333\approx 0,33$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_n$ là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau khi uống thuốc ngày thứ $n$. Sau một ngày chỉ còn $6\%$, nên lượng còn trước khi uống ngày thứ $n+1$ là $0,06\cdot u_n$, do đó $u_{n+1}=150+0,06u_n$, với $u_1=150$.
a) Lượng thuốc còn sau ngày đầu tiên: $150\cdot 6\%=9$ (mg). Đúng.
b) Ngày thứ 2: $u_2=150+0,06\cdot 150=150+9=159$ (mg). Đúng.
c) Ngày thứ 3: $u_3=150+0,06\cdot 159=150+9,54=159,54$ (mg), không phải $159,55$ mg. Sai.
d) Dãy $u_{n+1}=0,06u_n+150$ hội tụ về giới hạn $L=\frac{150}{1-0,06}=\frac{150}{0,94}\approx 159,\mathrm{5744...}$, làm tròn đến hàng phần trăm là $159,57$ mg. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$150\cdot 6\%=9$ (mg).
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=150+0,06\cdot 150=159$ (mg).
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=150+0,06\cdot 159=159,54$ (mg) $\ne 159,55$ mg.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn $L=\frac{150}{0,94}\approx 159,57$ mg.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ là lượng thuốc trong cơ thể sau khi uống viên thuốc ngày thứ $n$. Ta có $a_1=81$. Trước mỗi lần uống, lượng thuốc cũ còn lại $5\%$, nên $a_{n+1}=a_n\cdot 0,05+81$.

a/ Tính trực tiếp:
- $a_1=81$ (mg)
- $a_2=81\cdot 0,05+81=4,05+81=85,05$ (mg)
- $a_3=85,05\cdot 0,05+81=4,2525+81=85,2525\approx 85,25$ (mg)

Vậy sau khi uống viên thuốc ngày thứ 3, lượng thuốc trong cơ thể khoảng $85,25$ mg.

b/ Ta có $a_{n+1}=0,05a_n+81$. Dạng chuẩn: $a_{n+1}-L=0,05(a_n-L)$ với $L=\frac{81}{1-0,05}=\frac{81}{0,95}=\frac{1620}{19}\approx 85,\mathrm{2631...}$

Suy ra $a_n=\frac{1620}{19}+\left(81-\frac{1620}{19}\right)(0,05{)}^{n-1}$. Vì $|0,05|<1$ nên $(0,05{)}^{n-1}\to 0$ khi $n\to \infty$, do đó khi dùng thuốc trong thời gian rất dài, lượng thuốc trong cơ thể tiến tới $\frac{1620}{19}\approx 85,26$ mg.

Vậy lượng thuốc trong cơ thể xấp xỉ $85,26$ mg.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)+5}{n+1}=n+2+\frac{5}{n+1}$. Để $u_n$ nguyên thì $n+1\mid 5$, tức $n+1\in \{-5;-1;1;5\}$. Với $n\ge 1$ thì $n+1\ge 2$, chỉ còn $n+1=5\Rightarrow n=4$, khi đó $u_4=6+1=7$ nguyên. Vậy dãy có đúng 1 số hạng nguyên, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Thử nhận xét $u_n=10^n+n$: với $n=1$, $u_1=10+1=11$ đúng. Kiểm tra truy hồi: $10u_n+1-9n=10(10^n+n)+1-9n=10^{n+1}+n+1=u_{n+1}$ đúng với mọi $n$. Vậy $u_{2025}=10^{2025}+2025$, chọn đáp án B.