Chứng minh rằng dãy số $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}$ tăng và bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\dots +\frac{1}{n(n+1)}$.

**1) Chứng minh dãy tăng:**
Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**2) Chứng minh dãy bị chặn trên:**
Ta có $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, do đó:
$$u_n=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}.$$
Vì $\frac{1}{n+1}>0$ nên $u_n<1$ với mọi $n\ge 1$.
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi số $1$.

Kết luận: dãy số $(u_n)$ tăng và bị chặn trên.