Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) ${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1+{\sin }^{4}x$
b) $\frac{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=1-\sin \alpha \cos \alpha$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4. Chứng minh các đẳng thức (giả sử các biểu thức đều có nghĩa).

a) VT = ${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x$. Ta có ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$, nên:
$${\cos }^{4}x=(1-{\sin }^{2}x{)}^2=1-2{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x.$$
Do đó:
$${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x+{\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1+{\sin }^{4}x=\text{VP}.$$
Vậy ${\cos }^{4}x+2{\sin }^{2}x=1+{\sin }^{4}x$. Đẳng thức được chứng minh.

b) Áp dụng hằng đẳng thức $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ với $a=\sin \alpha$, $b=\cos \alpha$:
$${\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha =(\sin \alpha +\cos \alpha )({\sin }^2\alpha -\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha ).$$
Vì $\sin \alpha +\cos \alpha \ne 0$ (biểu thức có nghĩa), ta được:
$$\frac{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha -\sin \alpha \cos \alpha =1-\sin \alpha \cos \alpha =\text{VP}.$$
(đã dùng ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$).
Vậy $\frac{{\sin }^3\alpha +{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }=1-\sin \alpha \cos \alpha$. Đẳng thức được chứng minh.