Cho $\tan \alpha =3$. Tính $B=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{{\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +2\sin \alpha }$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$ và $\sin \alpha =3\cos \alpha$. Từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ suy ra $9{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, tức ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$.

Cách gọn: chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (hoặc thay $\sin \alpha =3\cos \alpha$):

- Tử số: $\sin \alpha -\cos \alpha =3\cos \alpha -\cos \alpha =2\cos \alpha$.

- Mẫu số: ${\sin }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +2\sin \alpha =27{\cos }^3\alpha +3{\cos }^3\alpha +6\cos \alpha =30{\cos }^3\alpha +6\cos \alpha =6\cos \alpha \left(5{\cos }^2\alpha +1\right)$.

Do đó:
$$B=\frac{2\cos \alpha }{6\cos \alpha \left(5{\cos }^2\alpha +1\right)}=\frac{1}{3\left(5{\cos }^2\alpha +1\right)}$$

Thay ${\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$:
$$B=\frac{1}{3\left(\frac{5}{10}+1\right)}=\frac{1}{3\cdot \frac{3}{2}}=\frac{2}{9}$$

Kiểm tra lại bằng cách chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$: $B=\frac{\tan \alpha -1}{{\cos }^2\alpha ({\tan }^3\alpha +3)+2\tan \alpha }=\frac{3-1}{\frac{1}{10}(27+3)+6}=\frac{2}{3+6}=\frac{2}{9}$. Hai cách cho cùng kết quả.

Vậy $B=\frac{2}{9}$. Kết quả không phụ thuộc dấu của $\cos \alpha$ (dù $\alpha$ ở góc phần tư thứ I hay thứ III) vì biểu thức cuối chỉ phụ thuộc ${\cos }^2\alpha$.