Cho $\cos \alpha =\frac{2}{3}$. Tính $A=\frac{\tan \alpha +3\cot \alpha }{\tan \alpha +\cot \alpha }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \alpha =\frac{2}{3}\ne 0$ nên $\tan \alpha ,\cot \alpha$ xác định. Chia cả tử và mẫu của $A$ cho $\tan \alpha$ (với $\tan \alpha \ne 0$, tức $\sin \alpha \ne 0$): $$A=\frac{1+3{\cot }^2\alpha }{1+{\cot }^2\alpha }.$$ Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ và ${\cot }^2\alpha =\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$, do đó $$A=\frac{1+3\cdot \frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }}{\frac{1}{{\sin }^2\alpha }}={\sin }^2\alpha +3{\cos }^2\alpha =1+2{\cos }^2\alpha .$$ Thay $\cos \alpha =\frac{2}{3}$: $$A=1+2\cdot \frac{4}{9}=1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}.$$ Vậy $A=\frac{17}{9}$.