Giải phương trình
a) $\sin 2x-\cos x=0$ b) $\sin x\cos 2x=\sin 2x\cos 3x$ c) $\sin 2x=\cos 3x$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 11. Giải từng phương trình:

a) $\sin 2x-\cos x=0\iff 2\sin x\cos x-\cos x=0\iff \cos x(2\sin x-1)=0$.
- $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

b) $\sin x\cos 2x=\sin 2x\cos 3x$. Dùng công thức nhân đôi: $\sin 2x=2\sin x\cos x$, phương trình trở thành $\sin x\cos 2x=2\sin x\cos x\cos 3x\iff \sin x(\cos 2x-2\cos x\cos 3x)=0$.
- $\sin x=0\iff x=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
- Với $\cos 2x=2\cos x\cos 3x$: dùng $2\cos x\cos 3x=\cos 4x+\cos 2x$, suy ra $\cos 2x=\cos 4x+\cos 2x\iff \cos 4x=0\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

Kiểm tra lại bằng tích thành tổng: $\sin x\cos 2x=\frac{1}{2}(\sin 3x-\sin x)$, $\sin 2x\cos 3x=\frac{1}{2}(\sin 5x-\sin x)$, nên phương trình tương đương $\sin 3x=\sin 5x\iff 2\cos 4x\sin x=0$ — cùng kết quả.

Vậy $x=k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

c) $\sin 2x=\cos 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$. Khi đó
$$\sin 2x-\sin \left(\frac{\pi }{2}-3x\right)=0\iff 2\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0.$$
- $\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=0\iff \frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (tương đương $x=\frac{3\pi }{2}+k2\pi$).
- $\sin \left(\frac{5x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \frac{5x}{2}=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5},k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{10}$, $\sin \frac{\pi }{5}=\cos \frac{3\pi }{10}$ (đúng vì $\sin \alpha =\cos (\frac{\pi }{2}-\alpha )$). Với $x=-\frac{\pi }{2}$: $\sin (-\pi )=0=\cos \left(-\frac{3\pi }{2}\right)$ (đúng).