Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $2^x>-3$ luôn đúng với mọi số thực $x$. Vậy tập nghiệm $S=\mathbb{R}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3^x-9$ và $g(x)={\log }_{2}x+a-2$ (miền xác định $x>0$).

a) $g(x)=3\iff {\log }_{2}x=5-a\iff x=2^{5-a}$. Cần $1\le 2^{5-a}<8\iff 0\le 5-a<3\iff 2<a\le 5$, cho 3 giá trị nguyên $a\in \{3;4;5\}$, không phải 4. → Sai.

b) $f(x)<0\iff x<2$ (chỉ $x=1$ nguyên dương), $f(2)=0$, $f(x)>0\iff x>2$.
- Với $x=1$: cần $g(1)=a-2>0\iff a>2$; khi đó với mọi $x\ge 3$ có $g(x)>0,f(x)>0$ nên không thỏa → mỗi $a\ge 3$ cho đúng 1 giá trị $x$.
- Với $x\ge 3$: cần $g(x)<0\iff x<2^{2-a}$. Với $a=1$: $2^{2-a}=2\le 3$ nên không có $x$ (lưu ý $g(3)={\log }_{2}3-1>0$), không thỏa. Với $a=0$: chỉ $x=3$ (vì $g(4)=0$) → 1 giá trị, thỏa. Với $a=-1$: $x<8$, các $x=3,4,5,6,7$ → đúng 5 giá trị, thỏa. Với $a\le -2$: có $x=3,\dots ,15$ (13 giá trị) trở lên → không thỏa. Với $a=2$: $g(1)=0$ và không có $x\ge 3$ → không thỏa.
Vậy các giá trị nguyên $a\in (-20;20)$ thỏa mãn là $a\in \{-1;0\}\cup \{3;4;\dots ;19\}$, tức $2+17=19$ giá trị. → Đúng.

c) $2g(x)=2{\log }_{2}x+2a-4$, phương trình trở thành $2{\log }_{2}x={\log }_2(2x-1{)}^2\iff {\log }_2{x}^2={\log }_2(2x-1{)}^2\iff x^2=(2x-1{)}^2\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$. Cả hai đều thỏa miền xác định ($x>0$, $x\ne \frac{1}{2}$). Vậy có đúng 2 nghiệm. → Đúng.

d) $3^x-9>2\cdot 3^{x-1}\iff 3\cdot 3^{x-1}-2\cdot 3^{x-1}>9\iff 3^{x-1}>9=3^2\iff x>3$. Tập nghiệm là $(3;+\infty )$, không phải $(2;+\infty )$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3\iff x=2^{5-a}\in [1;8)\iff 2<a\le 5$, chỉ có 3 giá trị nguyên $a\in \{3;4;5\}$, không phải 4.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=1$ cần $a>2$ (khi đó mỗi $a\ge 3$ cho đúng 1 giá trị $x$); $x\ge 3$ cần $g(x)<0\iff x<2^{2-a}$: $a=0$ cho 1 giá trị ($x=3$), $a=-1$ cho đúng 5 giá trị ($x=\mathrm{3..7}$), $a\le -2$ cho quá 5 giá trị, $a=1,2$ không có giá trị nào. Vậy $a\in \{-1;0\}\cup \{3;\dots ;19\}$: $2+17=19$ giá trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2{\log }_{2}x={\log }_2(2x-1{)}^2\iff x^2=(2x-1{)}^2\iff x=1$ hoặc $x=\frac{1}{3}$, đều hợp lệ → 2 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3^x-9>2\cdot 3^{x-1}\iff 3^{x-1}>9\iff x>3$; tập nghiệm là $(3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=x^2+y^2-8y=x^2+(y-4{)}^2-16$, khi đó $x^2+y^2+4=s+20>0$ và bất phương trình trở thành $$2^{x^2+s}+s{\log }_2(s+20)\le 2^{x^2}⟺2^{x^2}(2^s-1)\le -s{\log }_2(s+20).$$

Trường hợp $s\ge 0$: vế trái $\ge 0$, vế phải $\le 0$, nên cần $s=0$ (khi đó hai vế cùng bằng 0). Vậy $x^2+(y-4{)}^2=16$ cho các nghiệm nguyên $(0,0),(0,8),(4,4),(-4,4)$: 4 nghiệm.

Trường hợp $s<0$: đặt $s=-k$ với $k\ge 1$, bất phương trình là $2^{x^2-k}-k{\log }_2(20-k)\le 2^{x^2}$, luôn đúng vì $2^{x^2-k}<2^{x^2}$ và trừ thêm số dương. Vậy mọi điểm nguyên bên trong đường tròn $x^2+(y-4{)}^2<16$ đều thỏa.

Đếm điểm nguyên với $x^2+v^2\le 15$ ($v=y-4$): $x=0$: $v=-\mathrm{3..3}$ (7 điểm); $x=\pm 1$: 7 điểm mỗi giá trị; $x=\pm 2$: 7 điểm mỗi giá trị; $x=\pm 3$: $v=-\mathrm{2..2}$ (5 điểm mỗi giá trị). Tổng $7+14+14+10=45$ điểm. Cộng thêm 4 điểm trên biên $s=0$ ta được $45+4=49$ cặp $(x;y)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>24$. Bất phương trình tương đương ${\log }_2\frac{x(x-24)}{8}\le {\log }_2(16\cdot 5)={\log }_{2}80$, tức $x(x-24)\le 640\iff x^2-24x-640\le 0\iff -16\le x\le 40$. Kết hợp với $x>24$ ta được $24<x\le 40$, các số nguyên là $25,26,\dots ,40$: có $16$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $h(n)>130$ cm: $20{\log }_3(5n+1)+51>130\iff {\log }_3(5n+1)>3,95\iff 5n+1>3^{3,95}\approx 76,6\iff n>15,12$. Vậy sau ít nhất 16 tuần. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3^x-1>0\iff x>0$. Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên ${\log }_{\frac{1}{2}}(3^x-1)>-1\iff 3^x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2\iff 3^x<3\iff x<1$. Kết hợp điều kiện: $0<x<1$, tập nghiệm $(0;1)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$. Bất phương trình ${\log }_2(3x-1)<3\iff 3x-1<8\iff x<3$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{3}<x<3$. Vậy tập nghiệm là $\left(\frac{1}{3};3\right)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012\cdot e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$ (triệu người/năm). Yêu cầu $N^{\prime }(t)>2$ tức $e^{0,012t}>\frac{2}{1,2}=\frac{5}{3}$, suy ra $0,012t>\ln \frac{5}{3}$, tức $t>\frac{\ln (5/3)}{0,012}\approx \frac{0,5108}{0,012}\approx 42,57$. Vậy sau ít nhất 43 năm (kết quả khớp với đáp án nguồn 43).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{3}x$, với $x>0$. Ta có $b=a{\log }_{3}2=\frac{a}{{\log }_{2}3}=\frac{a}{k}$ với $k={\log }_{2}3\approx 1,585$. Bất phương trình trở thành $a+\frac{a}{k}\ge 1+\frac{a^2}{k}$. Nhân với $k>0$: $a(k+1)\ge k+a^2\iff a^2-(k+1)a+k\le 0\iff (a-1)(a-k)\le 0\iff 1\le a\le {\log }_{2}3$. Suy ra $2\le x\le 3$. Các nghiệm nguyên: $x=2$ (kiểm tra: $1+{\log }_{3}2\ge 1+{\log }_{3}2$, đúng) và $x=3$ (kiểm tra: ${\log }_{2}3+1\ge 1+{\log }_{2}3$, đúng). Vậy có 2 nghiệm nguyên, chọn B.

Chọn C. ${\log }_3(2x-1)<3\iff 0<2x-1<27\iff \frac{1}{2}<x<14$. (Đáp án $\frac{1}{2}<x<14$ được gạch chân trong nguồn giải.)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$. Với ${\log }_3(x-3)\le 2\iff x-3\le 9\iff x\le 12$. Tập nghiệm $S=(3;12]$. Các số nguyên trong $S$: $4,5,6,7,8,9,10,11,12$ — tổng cộng 9 số. Khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $T\le 40$: $22+50e^{-\frac{t}{8}}\le 40\iff e^{-\frac{t}{8}}\le \frac{18}{50}=0,36$. Lấy logarit: $-\frac{t}{8}\le \ln 0,36\iff t\ge -8\ln 0,36\approx 8\times 1,0217\approx 8,17$ phút. Vậy sau ít nhất khoảng $8,17$ phút, làm tròn đến hàng đơn vị là $9$ phút. Kiểm tra: tại $t=8$: $T=22+50e^{-1}\approx 40,39>40$; tại $t=9$: $T=22+50e^{-9/8}\approx 37,99\le 40$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2^{x+1}-\sqrt{2})(2^x-y)<0$ có hai nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ (khi $2^{x+1}=\sqrt{2}$) và $x={\log }_{2}y$. Với $y$ nguyên dương thì ${\log }_{2}y\ge 0>-\frac{1}{2}$, nên bất phương trình tương đương $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$, tức $x$ nguyên thỏa $0\le x<{\log }_{2}y$ (tương đương $2^x<y$). Số giá trị $x$ nguyên là $\lceil {\log }_{2}y\rceil$. Yêu cầu $\lceil {\log }_{2}y\rceil \le 10$ tức ${\log }_{2}y\le 10$, suy ra $y\le 2^{10}=1024$. Vậy có $1024$ số nguyên dương $y$ (từ 1 đến 1024). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+30>0\iff x>-30$. Đặt $f(x)=3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x}$ và $g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

$f(x)\ge 0\iff x^2\ge 2x\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$; $f(x)\le 0\iff 0\le x\le 2$.

$g(x)\ge 0\iff x+30\ge 32\iff x\ge 2$; $g(x)\le 0\iff x\le 2$.

Tích $f(x)g(x)\le 0$ khi:
- Trường hợp 1: $f(x)\ge 0$ và $g(x)\le 0$: ($x\le 0$ hoặc $x\ge 2$) và $x\le 2$, suy ra $x\le 0$ hoặc $x=2$.
- Trường hợp 2: $f(x)\le 0$ và $g(x)\ge 0$: $0\le x\le 2$ và $x\ge 2$, suy ra $x=2$ (đã đếm).

Kết hợp điều kiện $x>-30$: các số nguyên từ $-29$ đến $0$ gồm 30 số, cộng thêm $x=2$ (1 số).

Kiểm tra $x=1$: $f(1)=3-9=-6<0$, $g(1)={\log }_{2}31-5<0$ nên tích $>0$, không thỏa mãn — đúng như loại bỏ.

Tổng: $30+1=31$ số nguyên. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Do $5^t$ là hàm đồng biến, bất phương trình $5^{\sqrt{y}}<5^{\sqrt{10-x}}$ tương đương $\sqrt{y}<\sqrt{10-x}$, tức $y<10-x$ (với điều kiện $10-x>0$). Vì $x,y$ nguyên dương nên $x\le 9$, với mỗi $x$ từ 1 đến 9 có $9-x$ giá trị $y$ (từ 1 đến $9-x$). Tổng số cặp: $8+7+6+5+4+3+2+1=36$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x}$ và $g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

a) $f(x)\ge 0\iff x^2\ge 2x\iff x(x-2)\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Vì $f(0)=f(2)=0$ nên tập nghiệm là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$, không phải $(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. → Sai.

b) Dấu: $f(x)\ge 0$ khi $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$; $f(x)<0$ khi $0<x<2$. $g(x)\le 0\iff x+30\le 32\iff x\le 2$ (kết hợp điều kiện $x>-30$); $g(x)>0$ khi $x>2$.
Tích $f(x)g(x)\le 0$ khi hai dấu trái nhau hoặc một yếu tố bằng 0:
- Với $-30<x\le 0$: $f\ge 0$, $g<0$ (vì $x+30<32$ khi $x<2$, tại $x\le 0$ thì $g<0$) → tích $\le 0$: các số nguyên $x\in \{-29,-28,\dots ,0\}$, tức 30 số.
- Với $0<x<2$: $f<0$, $g<0$ → tích $>0$, loại (không có số nguyên nào ngoài $x=1$, bị loại).
- $x=2$: $f(2)=0$, $g(2)=0$ → tích $=0$, thỏa mãn.
- $x>2$: $f>0$, $g>0$ → tích $>0$, loại.
Vậy có tất cả $30+1=31$ số nguyên, không phải 30. → Sai.

c) Tập xác định của $g(x)$: $x+30>0\iff x>-30$, tức $(-30;+\infty )$, không phải $[-30;+\infty )$. → Sai.

d) $g(x)\le 0\iff {\log }_2(x+30)\le 5\iff 0<x+30\le 32\iff -30<x\le 2$. Tập nghiệm $(-30;2]$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$ vì $f(0)=f(2)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{-29,\dots ,0\}\cup \{2\}$, tổng cộng 31 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+30>0$ nên tập xác định là $(-30;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)\le 0\iff -30<x\le 2$, tập nghiệm $(-30;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{25}=5^{-2}$. Bất phương trình $5^{3x+1}<5^{-2}$, vì cơ số $5>1$ nên $3x+1<-2\iff 3x<-3\iff x<-1$. Vậy tập nghiệm là $T=(-\infty ;-1)$, tương ứng đáp án D.

a) Theo bảng đáp án (đề 102, 3a = S). Kiểm tra: $f(1)={\log }_2\sqrt{1+\sqrt{5}}\approx 0.847<0.9$, nên $x=1$ không là nghiệm — phát biểu sai.
b) Theo bảng đáp án (đề 102, 3b = S). Thật vậy, $f(x)\le 1\iff x+\sqrt{x^2+4}\le 4\iff x\le \frac{3}{2}$, nên tập $S$ chỉ chứa đúng 1 số nguyên dương là $1$ — phát biểu sai.
c) Theo bảng đáp án (đề 102, 3c = D). Vì $x+\sqrt{x^2+4}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $f$ xác định trên $\mathbb{R}$; hàm trong là tích các hàm đồng biến nên $f$ đồng biến — phát biểu đúng.
d) Theo bảng đáp án (đề 102, 3d = D). Bất phương trình ở ý d) là phát biểu không gán nhãn thứ hai trong đề gốc. Sử dụng $f(-x)=1-f(x)$ và $(x+1{)}^4-4x-5=x^4+4x^3+5x^2-2$ để đưa về điều kiện trên tham số $m$; kết quả có đúng 1 giá trị $m$ thỏa mãn — phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\sqrt{x-x^2}$ và $\sqrt{1-x}$ yêu cầu $0<x<1$, khi đó $\log x$ xác định.

Bất phương trình $3\log x\le 2\log \left(m\sqrt{x-x^2}-(1-x)\sqrt{1-x}\right)$ tương đương với
$$x^3\le {\left(m\sqrt{x(1-x)}-(1-x)\sqrt{1-x}\right)}^2\text{vaˋ}m\sqrt{x(1-x)}-(1-x)\sqrt{1-x}>0.$$
Vì vế phải dương, điều kiện tương đương
$$m\sqrt{x(1-x)}\ge x^{3/2}+(1-x{)}^{3/2}.$$
Chia hai vế cho $\sqrt{x(1-x)}>0$, bất phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi tồn tại $x\in (0,1)$ sao cho
$$m\ge g(x):=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}},$$
tức là $m\ge {\min }_{(0,1)}g(x)$.

Tìm min: $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1/2}{1/\sqrt{2}}+\frac{1/2}{1/\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Đạo hàm
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2(1-x{)}^{3/2}}-\frac{1-x}{2x^{3/2}}-\frac{1}{\sqrt{x}},$$
và $g^{\prime }(1/2)=0$; khảo sát dấu cho thấy $g^{\prime }(x)<0$ với $x<\frac{1}{2}$ và $g^{\prime }(x)>0$ với $x>\frac{1}{2}$ (hàm đối xứng qua $x=\frac{1}{2}$: $g(x)=g(1-x)$), nên ${\min }_{(0,1)}g=g\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$.

Kiểm tra thêm: với $x=0,4$: $g=\frac{0,4}{\sqrt{0,6}}+\frac{0,6}{\sqrt{0,4}}\approx 0,516+0,949=1,465>\sqrt{2}$; với $x=0,6$ cũng $\approx 1,465$. Vậy đúng là min $=\sqrt{2}$ tại $x=\frac{1}{2}$.

Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \sqrt{2}$. Với $m$ nguyên thuộc khoảng $(-9;9)$, các giá trị thỏa mãn là $m\in \{2,3,4,5,6,7,8\}$: có $7$ giá trị.

(Kiểm tra: với $m=2$, $x=\frac{1}{2}$: $2\cdot \frac{1}{2}=1\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$, thỏa mãn; với $m=1<\sqrt{2}$ thì vô nghiệm.)

Vậy chọn đáp án D.