Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>24$. Bất phương trình tương đương ${\log }_2\frac{x(x-24)}{8}\le {\log }_2(16\cdot 5)={\log }_{2}80$, tức $x(x-24)\le 640\iff x^2-24x-640\le 0\iff -16\le x\le 40$. Kết hợp với $x>24$ ta được $24<x\le 40$, các số nguyên là $25,26,\dots ,40$: có $16$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=100\cdot 0,012\cdot e^{0,012t}=1,2e^{0,012t}$ (triệu người/năm). Yêu cầu $N^{\prime }(t)>2$ tức $e^{0,012t}>\frac{2}{1,2}=\frac{5}{3}$, suy ra $0,012t>\ln \frac{5}{3}$, tức $t>\frac{\ln (5/3)}{0,012}\approx \frac{0,5108}{0,012}\approx 42,57$. Vậy sau ít nhất 43 năm (kết quả khớp với đáp án nguồn 43).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}x$, $b={\log }_{3}x$, với $x>0$. Ta có $b=a{\log }_{3}2=\frac{a}{{\log }_{2}3}=\frac{a}{k}$ với $k={\log }_{2}3\approx 1,585$. Bất phương trình trở thành $a+\frac{a}{k}\ge 1+\frac{a^2}{k}$. Nhân với $k>0$: $a(k+1)\ge k+a^2\iff a^2-(k+1)a+k\le 0\iff (a-1)(a-k)\le 0\iff 1\le a\le {\log }_{2}3$. Suy ra $2\le x\le 3$. Các nghiệm nguyên: $x=2$ (kiểm tra: $1+{\log }_{3}2\ge 1+{\log }_{3}2$, đúng) và $x=3$ (kiểm tra: ${\log }_{2}3+1\ge 1+{\log }_{2}3$, đúng). Vậy có 2 nghiệm nguyên, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $T\le 40$: $22+50e^{-\frac{t}{8}}\le 40\iff e^{-\frac{t}{8}}\le \frac{18}{50}=0,36$. Lấy logarit: $-\frac{t}{8}\le \ln 0,36\iff t\ge -8\ln 0,36\approx 8\times 1,0217\approx 8,17$ phút. Vậy sau ít nhất khoảng $8,17$ phút, làm tròn đến hàng đơn vị là $9$ phút. Kiểm tra: tại $t=8$: $T=22+50e^{-1}\approx 40,39>40$; tại $t=9$: $T=22+50e^{-9/8}\approx 37,99\le 40$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2^{x+1}-\sqrt{2})(2^x-y)<0$ có hai nghiệm $x=-\frac{1}{2}$ (khi $2^{x+1}=\sqrt{2}$) và $x={\log }_{2}y$. Với $y$ nguyên dương thì ${\log }_{2}y\ge 0>-\frac{1}{2}$, nên bất phương trình tương đương $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$, tức $x$ nguyên thỏa $0\le x<{\log }_{2}y$ (tương đương $2^x<y$). Số giá trị $x$ nguyên là $\lceil {\log }_{2}y\rceil$. Yêu cầu $\lceil {\log }_{2}y\rceil \le 10$ tức ${\log }_{2}y\le 10$, suy ra $y\le 2^{10}=1024$. Vậy có $1024$ số nguyên dương $y$ (từ 1 đến 1024). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+30>0\iff x>-30$. Đặt $f(x)=3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x}$ và $g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

$f(x)\ge 0\iff x^2\ge 2x\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$; $f(x)\le 0\iff 0\le x\le 2$.

$g(x)\ge 0\iff x+30\ge 32\iff x\ge 2$; $g(x)\le 0\iff x\le 2$.

Tích $f(x)g(x)\le 0$ khi:
- Trường hợp 1: $f(x)\ge 0$ và $g(x)\le 0$: ($x\le 0$ hoặc $x\ge 2$) và $x\le 2$, suy ra $x\le 0$ hoặc $x=2$.
- Trường hợp 2: $f(x)\le 0$ và $g(x)\ge 0$: $0\le x\le 2$ và $x\ge 2$, suy ra $x=2$ (đã đếm).

Kết hợp điều kiện $x>-30$: các số nguyên từ $-29$ đến $0$ gồm 30 số, cộng thêm $x=2$ (1 số).

Kiểm tra $x=1$: $f(1)=3-9=-6<0$, $g(1)={\log }_{2}31-5<0$ nên tích $>0$, không thỏa mãn — đúng như loại bỏ.

Tổng: $30+1=31$ số nguyên. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Do $5^t$ là hàm đồng biến, bất phương trình $5^{\sqrt{y}}<5^{\sqrt{10-x}}$ tương đương $\sqrt{y}<\sqrt{10-x}$, tức $y<10-x$ (với điều kiện $10-x>0$). Vì $x,y$ nguyên dương nên $x\le 9$, với mỗi $x$ từ 1 đến 9 có $9-x$ giá trị $y$ (từ 1 đến $9-x$). Tổng số cặp: $8+7+6+5+4+3+2+1=36$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=3^{x^2}-9^x=3^{x^2}-3^{2x}$ và $g(x)={\log }_2(x+30)-5$.

a) $f(x)\ge 0\iff x^2\ge 2x\iff x(x-2)\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Vì $f(0)=f(2)=0$ nên tập nghiệm là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$, không phải $(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. → Sai.

b) Dấu: $f(x)\ge 0$ khi $x\le 0$ hoặc $x\ge 2$; $f(x)<0$ khi $0<x<2$. $g(x)\le 0\iff x+30\le 32\iff x\le 2$ (kết hợp điều kiện $x>-30$); $g(x)>0$ khi $x>2$.
Tích $f(x)g(x)\le 0$ khi hai dấu trái nhau hoặc một yếu tố bằng 0:
- Với $-30<x\le 0$: $f\ge 0$, $g<0$ (vì $x+30<32$ khi $x<2$, tại $x\le 0$ thì $g<0$) → tích $\le 0$: các số nguyên $x\in \{-29,-28,\dots ,0\}$, tức 30 số.
- Với $0<x<2$: $f<0$, $g<0$ → tích $>0$, loại (không có số nguyên nào ngoài $x=1$, bị loại).
- $x=2$: $f(2)=0$, $g(2)=0$ → tích $=0$, thỏa mãn.
- $x>2$: $f>0$, $g>0$ → tích $>0$, loại.
Vậy có tất cả $30+1=31$ số nguyên, không phải 30. → Sai.

c) Tập xác định của $g(x)$: $x+30>0\iff x>-30$, tức $(-30;+\infty )$, không phải $[-30;+\infty )$. → Sai.

d) $g(x)\le 0\iff {\log }_2(x+30)\le 5\iff 0<x+30\le 32\iff -30<x\le 2$. Tập nghiệm $(-30;2]$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập nghiệm đúng là $(-\infty ;0]\cup [2;+\infty )$ vì $f(0)=f(2)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{-29,\dots ,0\}\cup \{2\}$, tổng cộng 31 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x+30>0$ nên tập xác định là $(-30;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)\le 0\iff -30<x\le 2$, tập nghiệm $(-30;2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3a) Ta có $0,16=0,4^2$. Vì cơ số $0<0,4<1$ nên bất phương trình $0,4^{x^2+x}>0,4^2$ tương đương $x^2+x<2$, tức $x^2+x-2<0\iff (x-1)(x+2)<0\iff -2<x<1$. Vậy tập nghiệm $S=(-2;1)$.

Câu 3b) Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Ta có ${\log }_3(2x-1{)}^2=2{\log }_3(2x-1)$. Đặt $t={\log }_3(2x-1)$, bất phương trình trở thành $t^2-6t+2<0$. Phương trình $t^2-6t+2=0$ có nghiệm $t=3\pm \sqrt{7}$, nên $3-\sqrt{7}<t<3+\sqrt{7}$, tức $3-\sqrt{7}<{\log }_3(2x-1)<3+\sqrt{7}$. Do đó $3^{3-\sqrt{7}}<2x-1<3^{3+\sqrt{7}}$, suy ra $\frac{1+3^{3-\sqrt{7}}}{2}<x<\frac{1+3^{3+\sqrt{7}}}{2}$. Kết quả này thỏa mãn điều kiện $x>\frac{1}{2}$ (vì $3^{3-\sqrt{7}}>1$). Vậy tập nghiệm $S=\left(\frac{1+3^{3-\sqrt{7}}}{2};\frac{1+3^{3+\sqrt{7}}}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Giải từng bất phương trình lôgarit.

a) Điều kiện $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$. BPT $\iff {\log }_2(3x-1)>{\log }_{2}8\iff 3x-1>8\iff x>3$ (thỏa ĐK). Tập nghiệm: $S=(3;+\infty )$.

b) Điều kiện: $x\ne 0$, $4x-4>0\iff x>1$. BPT $\iff x^2>4x-4\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Kết hợp: $S=(1;2)\cup (2;+\infty )$.

c) Điều kiện $x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. BPT $\iff x^2-2x>3\iff x^2-2x-3>0\iff (x-3)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>3$ (thỏa ĐK). $S=(-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$.

d) Điều kiện: $x+1>0$, $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên hàm nghịch biến: $x+1\ge 2x-5\iff x\le 6$. $S=\left(\frac{5}{2};6\right]$.

e) Điều kiện $x>0$. BPT $\iff {\log }_2[x(x+1)]>1\iff x^2+x>2\iff (x-1)(x+2)>0\iff x>1$ hoặc $x<-2$ (loại do ĐK). $S=(1;+\infty )$.

f) Điều kiện $4x-3>0\iff x>\frac{3}{4}$. BPT $\iff {\log }_3(4x-3{)}^2\le {\log }_3(18x+27)\iff (4x-3{)}^2\le 18x+27\iff 16x^2-42x-18\le 0\iff 8x^2-21x-9\le 0$. Nghiệm: $x=\frac{21\pm \sqrt{441+288}}{16}=\frac{21\pm 27}{16}$, tức $x=-\frac{3}{8}$ hoặc $x=3$. Vậy $-\frac{3}{8}\le x\le 3$, kết hợp $x>\frac{3}{4}$: $S=\left(\frac{3}{4};3\right]$.

g) Điều kiện $x\ne 2$. BPT $\iff {\log }_4(x-2{)}^2\le {\log }_{4}4\iff (x-2{)}^2\le 4\iff -2\le x-2\le 2\iff 0\le x\le 4$, loại $x=2$. $S=[0;2)\cup (2;4]$.

h) Điều kiện: $1-x>0$, $2x+6>0\iff -3<x<1$. Vì cơ số $\frac{1}{2}<1$: ${\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)-1>{\log }_{\frac{1}{2}}(2x+6)\iff {\log }_{\frac{1}{2}}(1-x)>{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}(2x+6)\right)\iff 1-x<x+3\iff x>-1$. $S=(-1;1)$.

i) Điều kiện: $(x+1{)}^2>0\iff x\ne -1$; $2x+5>0\iff x>-\frac{5}{2}$. BPT $\iff (x+1{)}^2\le 2x+5\iff x^2+2x+1\le 2x+5\iff x^2\le 4\iff -2\le x\le 2$. Kết hợp: $S=[-2;-1)\cup (-1;2]$.

j) Điều kiện: $x-1>0$, $x+1>0$, $4x-2x^2>0\iff 2x(2-x)>0\iff 1<x<2$. BPT $\iff \ln (x^2-1)>\ln (4x-2x^2)\iff x^2-1>4x-2x^2\iff 3x^2-4x-1>0$. Nghiệm: $x=\frac{4\pm \sqrt{16+12}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{7}}{3}$. Vậy $x<\frac{2-\sqrt{7}}{3}$ hoặc $x>\frac{2+\sqrt{7}}{3}$; vì $\frac{2-\sqrt{7}}{3}\approx -0,215<1$ nên kết hợp ĐK: $S=\left(\frac{2+\sqrt{7}}{3};2\right)$ với $\frac{2+\sqrt{7}}{3}\approx 1,548$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>2$. Vì $-{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)={\log }_3(x-2)$, bất phương trình trở thành ${\log }_3(x+2)+{\log }_3(x-2)\le 3$, tức ${\log }_3(x^2-4)\le 3\iff x^2-4\le 27\iff x^2\le 31$. Kết hợp $x>2$ ta được $2<x\le \sqrt{31}\approx 5,57$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{3;4;5\}$, gồm 3 nghiệm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>2$. Vì $-{\log }_{1/3}(x-2)={\log }_3(x-2)$, bất phương trình trở thành ${\log }_3[(x+2)(x-2)]\le 3$, tức ${\log }_3(x^2-4)\le 3\iff x^2-4\le 27\iff x^2\le 31\iff x\le \sqrt{31}\approx 5,57$. Kết hợp $x>2$ ta được $2<x\le \sqrt{31}$, các nghiệm nguyên là $x\in \{3;4;5\}$, gồm 3 nghiệm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $V(2)=A\cdot (0,905{)}^2=655,22$ triệu đồng, suy ra $A=\frac{655,22}{0,905^2}=\frac{655,22}{0,819025}=800$ (triệu đồng). Cần $800\cdot (0,905{)}^t\le 300\iff (0,905{)}^t\le 0,375$. Vì $0<0,905<1$, lấy logarit: $t\ge \frac{\ln 0,375}{\ln 0,905}\approx \frac{-0,98083}{-0,09982}\approx 9,83$. Vậy $t$ nguyên nhỏ nhất là $t=10$ năm. Kiểm tra: $0,905^{10}\approx 0,3687$, $800\cdot 0,3687\approx 295$ triệu $\le 300$; còn $t=9$: $800\cdot 0,905^9\approx 326$ triệu $>300$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ dưới $50\%$ nghĩa là $M(t)<50$. Giải: $75-20\ln (t+1)<50\iff \ln (t+1)>1,25\iff t+1>e^{1,25}\approx 3,4903\iff t>2,4903$. Kiểm tra: $M(2)=75-20\ln 3\approx 53,02\%>50\%$ (chưa dưới $50\%$), còn $M(3)=75-20\ln 4\approx 47,27\%<50\%$. Vậy tháng đầu tiên nhóm học sinh nhớ dưới $50\%$ là $t=3$, quy tròn tới hàng đơn vị ta được $3$ tháng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x^2-3x-7}>3^{2x-21}$ tương đương $3^{-2x^2+3x+7}>3^{2x-21}$. Vì cơ số $3>1$ nên $-2x^2+3x+7>2x-21\iff -2x^2+x+28>0\iff 2x^2-x-28<0$. Phương trình $2x^2-x-28=0$ có nghiệm $x=\frac{1\pm 15}{4}$, tức $x=-\frac{7}{2}$ và $x=4$. Vậy $-\frac{7}{2}<x<4$ (bất đẳng thức nghiêm ngặt, không lấy $x=4$), các nghiệm nguyên là $x\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0$ và $x>0$ nên $x>2$. Vì $-{\log }_{1/3}x={\log }_{3}x$, bất phương trình trở thành ${\log }_3(x-2)+{\log }_{3}x>1$, tức ${\log }_3[x(x-2)]>1={\log }_{3}3$. Do $x>2$ nên $x(x-2)>3$, giải $x^2-2x-3>0$ cho $x<-1$ hoặc $x>3$. Kết hợp $x>2$ được $S=(3;+\infty )$, vậy $a=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2a) Chia hai vế cho $9^x>0$: ${\left(\frac{4}{3}\right)}^{2x}-5{\left(\frac{4}{3}\right)}^x+4\le 0$. Đặt $t={\left(\frac{4}{3}\right)}^x>0$, ta có $t^2-5t+4\le 0\iff 1\le t\le 4$. Suy ra $1\le {\left(\frac{4}{3}\right)}^x\le 4\iff 0\le x\le 2$. Vậy tập nghiệm $S=[0;2]$.

Bài 2b) Hàm số xác định tại $x=-1$ với $f(-1)=1$. Xét giới hạn khi $x\to -1$: cả tử và mẫu đều tiến về 0. Viết $\sqrt{x^2+3}-\sqrt[3]{7-x}=(\sqrt{x^2+3}-2)+(2-\sqrt[3]{7-x})$.

Tính ${\lim }_{x\to -1}\frac{\sqrt{x^2+3}-2}{x+1}={\left(\sqrt{x^2+3}\right)}^{\prime }{|}_{x=-1}=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}{|}_{x=-1}=-\frac{1}{2}$.

Tính ${\lim }_{x\to -1}\frac{2-\sqrt[3]{7-x}}{x+1}=-{\left(\sqrt[3]{7-x}\right)}^{\prime }{|}_{x=-1}=-\left(-\frac{1}{3\sqrt[3]{(7-x{)}^2}}\right){|}_{x=-1}=\frac{1}{12}$.

Vậy ${\lim }_{x\to -1}f(x)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}=-\frac{5}{12}\ne 1=f(-1)$. Do đó hàm số không liên tục tại $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$ (điều kiện $x>0$). Khi đó $x=2^t$, nên $x^{{\log }_{2}x+4}={\left(2^t\right)}^{t+4}=2^{t(t+4)}$. Bất phương trình trở thành $2^{t^2+4t}<2^5$. Vì cơ số $2>1$, ta có $t^2+4t<5$, tức $t^2+4t-5<0\iff (t+5)(t-1)<0\iff -5<t<1$. Trở lại $x$: $-5<{\log }_{2}x<1\iff 2^{-5}<x<2^1\iff \frac{1}{32}<x<2$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{32};2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f(2)=55$: $75-k{\log }_{3}3=75-k=55\Rightarrow k=20$. Cần $75-20{\log }_3(1+t)<10\iff {\log }_3(1+t)>3,25\iff 1+t>3^{3,25}=27\cdot 3^{1/4}\approx 35,534$. Suy ra $t>34,534$, vậy sau ít nhất khoảng $34,5$ tháng (làm tròn đến hàng phần mười) tỉ lệ ghi nhớ giảm xuống dưới $10\%$. Khớp với đáp án nguồn 34,5.