Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, điểm $M$ thuộc cạnh $SC$ sao cho $SM=2MC$.
a) Tìm giao điểm $I$ của $AM$ và mặt phẳng $(SBD)$ và tính $\frac{AI}{AM}$.
b) Mặt phẳng $(P)$ chứa $AM$ và song song với $BD$. Xác định thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.
c) Tính diện tích thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ với độ dài cạnh đáy bằng $a$. Cạnh bên $SA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
a) Chứng minh rằng $BD\perp (SAC)$.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng $SO$ và $AC$.
c) Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Chứng minh $OI\perp SD$.