Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{6}$ có họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trong khoảng $(0;2\pi )$: với $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ chỉ có $x=\frac{\pi }{6}$ ($k=0$); với $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ chỉ có $x=\frac{11\pi }{6}$ ($k=1$). Vậy có đúng 2 nghiệm thuộc $(0;2\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\cot x=-\sqrt{3}\iff \cot x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Do đó $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được nghiệm dương nhỏ nhất $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất $12-3=9$ khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k\cdot 2\pi$, suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$. Với $0<t\le 365$ và $t\in \mathbb{Z}$: với $k=0$ ta được $t=-11$ (loại); với $k=1$ ta được $t=353$ (thỏa mãn). Vậy ngày thứ $353$ trong năm là ngày thành phố $T$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ($9$ giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=0$ có nghiệm tổng quát $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Với $k=500$ ta được $x=\frac{\pi }{2}+500\pi$, đúng với đáp án A. Các đáp án B, D có chu kỳ $\frac{\pi }{3}$ và C có $\frac{\pi }{4}$ thay vì $\frac{\pi }{2}$ nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$, $0<t\le 365$. Muốn thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất thì $d(t)$ đạt giá trị nhỏ nhất, tức $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$.

Khi đó $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Với $k=1$: $t=353$ thỏa mãn $0<t\le 365$ (các giá trị khác như $t=-11$, $t=717$ đều ngoài miền xác định).

Vậy bạn An nên chọn đi vào ngày thứ $353$ của năm; khi đó thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất, bằng $d(353)=3\cdot (-1)+12=9$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin 2\alpha$ có nghiệm dạng tổng quát: $x=2\alpha +k.2\pi$ hoặc $x=\pi -2\alpha +k.2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Điều này khớp với đáp án B. Đáp án A sai vì chu kỳ phải là $2\pi$ (dạng $x=\pi -a+k.2\pi$, không phải $-a+k.\pi$); C và D sai vì thay $2\alpha$ bằng $\alpha$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=-\sqrt{2}\iff \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Trên đường tròn lượng giác, phương trình $\cos x=c$ với $-1<c<1$ có đúng 2 điểm biểu diễn (hai điểm đối xứng qua trục hoành, ứng với $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$). Vậy có 2 điểm biểu diễn, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $h(t)=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$, nên $5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $t=\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}$. Với $t\in [0;6]$: $\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}\le 6\Rightarrow k\le \frac{6-2\pi /15}{\pi /5}\approx 8,88$, và $t\ge 0$ cho $k\ge 0$. Vậy $k=0,1,\dots ,8$, tức vật đi qua vị trí cân bằng $9$ lần.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-\frac{1}{2}$ có họ nghiệm $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra các đáp án: $\cos \frac{7\pi }{3}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (loại A); $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ (loại C); $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ (loại D). Với B: $x=-\frac{8\pi }{3}=-2\pi -\frac{2\pi }{3}$ nên $\cos \left(-\frac{8\pi }{3}\right)=\cos \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vật qua vị trí cân bằng khi $h(t)=0$, tức $\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)=0$. Suy ra $5t-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+k\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$, nên $t=\frac{2\pi }{15}+\frac{k\pi }{5}$. Với $0\le t\le 6$: $-\frac{2}{3}\le k\le \frac{30}{\pi }-\frac{2}{3}\approx 8,88$, vậy $k\in \{0,1,\dots ,8\}$, tức có 9 giá trị của $t$. Vậy trong khoảng từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cot x=\cot \frac{\pi }{10}$ có nghiệm dạng $x=\frac{\pi }{10}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (chu kỳ của cotangent là $\pi$). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\cot x=1\Rightarrow \cot x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $F=0,5$: $\frac{1}{2}(1-\cos a)=0,5\Rightarrow 1-\cos a=1\Rightarrow \cos a=0$. Vì $0^0\le a\le 360^0$ nên $a=90^0$ hoặc $a=270^0$ (tức $a=\frac{\pi }{2}$ hoặc $a=\frac{3\pi }{2}$). Đây là pha Thượng huyền (trăng lưỡi liềm đầu tháng, nửa mặt sáng) và Hạ huyền.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \alpha$ có nghiệm dạng $x=\alpha +k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (với điều kiện $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Do đó đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$. Đặt $t=x+\frac{\pi }{4}$, ta có $\sin t=\frac{1}{2}\iff t=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $t=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$. Suy ra $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$. a) Đúng: hoành độ giao điểm chính là nghiệm của phương trình (1). b) Sai: với $\alpha =-\frac{\pi }{12}$ thì $\sin x_1=\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\approx -0,259\ne -\frac{1}{2}$. c) Sai: với $x\in \left[-\frac{\pi }{2};4\pi \right]$ thì $t=x+\frac{\pi }{4}\in \left[-\frac{\pi }{4};\frac{17\pi }{4}\right]$. Các nghiệm $t=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ thuộc đoạn: $k=0,1,2$ (3 nghiệm); các nghiệm $t=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ thuộc đoạn: $k=0,1$ (2 nghiệm). Tổng cộng 5 giao điểm, không phải 10. d) Sai: trên đường tròn lượng giác, phương trình $\sin t=\frac{1}{2}$ chỉ có 2 điểm biểu diễn (tương ứng 2 cung), nên phương trình (1) cũng chỉ có 2 điểm biểu diễn, không phải 6.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ giao điểm của $(C)$ và $(C^{\prime })$ thỏa mãn $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm là $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$; khi đó $\sin x_1=\sin \left(-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\ne -\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};4\pi \right]$ có đúng 5 nghiệm (3 nghiệm dạng $-\frac{\pi }{12}+2k\pi$ và 2 nghiệm dạng $\frac{7\pi }{12}+2k\pi$), tức 5 giao điểm chứ không phải 10.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}$ chỉ có 2 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác (tương ứng $\sin t=\frac{1}{2}$), không phải 6.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ (khi đó $h=15$ m). Khi đó $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff \frac{\pi t}{6}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \iff t=12k-2$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $t\ge 0$: $k=1$ cho $t=10$; $k=0$ cho $t=-2<0$ (loại). Vậy thời gian ngắn nhất để mực nước cao nhất là $t=10$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ (do $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$). Phương trình trở thành $-\cos 2x+\cos 3x=0$, tức $\cos 3x=\cos 2x$.

Trường hợp 1: $3x=2x+k2\pi \Rightarrow x=k2\pi$.

Trường hợp 2: $3x=-2x+k2\pi \Rightarrow 5x=k2\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi }{5}$.

Thử lại: với $x=2k\pi$, $\sin x=0$, $\cos 3x=1$ nên $0-1+1=0$ ✓; với $x=\frac{2k\pi }{5}$, do $\cos \frac{6k\pi }{5}=\cos \frac{4k\pi }{5}$ (vì $\frac{6k\pi }{5}+\frac{4k\pi }{5}=2k\pi$) nên $\cos 3x=\cos 2x$, và $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ nên phương trình thỏa ✓.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{2k\pi }{5},k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Lưu ý họ $x=k2\pi$ đã bao gồm trong họ $x=\frac{2k\pi }{5}$ khi $k$ chia hết cho 5, nên có thể viết gọn $S=\left\{\frac{2k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.