Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

Số giờ có ánh sáng của thành phố $T$ ở vĩ độ $40^{\circ }$ bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số $d(t)=3\cdot \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $t\in \mathbb{Z}$ và $0<t\le 365$. Bạn An muốn đi tham quan thành phố $T$ nhưng lại không thích ánh sáng mặt trời, vậy bạn An nên chọn đi vào ngày nào trong năm để thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất?

(0, điểm) (Dạng khác!)

Cho hai hàm số $(C)$: $y=\cos x$ và $(C^{\prime })$: $y=\sin x$.

Giả sử một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng được cho bởi công thức $h(t)=2\cos \left(5t-\frac{\pi }{6}\right)$. Ở đây, thời gian tính bằng giây và quãng đường h tính bằng cm. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?

(0, điểm) (Dạng khác!)

Cho hai hàm số $(C)$: $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $(C^{\prime })$: $y=\frac{1}{2}$.

Tìm nghiệm của phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0$ trên đoạn $\left[2\pi ;4\pi \right]$.

Giải các phương trình sau

a. $\tan 2x=\tan \frac{2\pi }{7}$. b. $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{3}$.

c. $\tan (3x-30^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. d. ${\tan }^{2}x=1$.

e. $\tan 2x=0$. f. $\cot \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$.

g. $\left(\cot \frac{x}{2}-1\right)\left(\cot \frac{x}{2}+1\right)=0$. h. $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2\tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1$.

i. $\tan (x-30^{\circ })\cdot \cos (2x-150)=0$. j. $\left(3\tan x+\sqrt{3}\right)(2\sin x-1)=0$.

k. $\tan x\cdot \tan 2x=-1$. l. $\tan 4x\cdot \cot 2x=1$.

m. $\sin 2x\cdot \cot x=0$.

Mực nước của một dòng sông lên xuống theo thủy triều trong ngày. Độ sâu $h(m)$ của mực nước trên sông tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày $(0\le t<24)$ cho bởi công thức $h=2\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)+9$.

Trong khoảng thời gian nào trong ngày thì sâu của mực nước là 10 m.

Chiều cao $h(m)$ của một cabin trên vòng quay vào thời điểm $t$ giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h(t)=30+20\sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)$. Sau bao nhiêu giây thì cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Chiều cao $h(m)$ của một cabin trên vòng quay vào thời điểm $t$ giây sau khi bắt đầu chuyển động được cho bởi công thức $h(t)=30+20\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)$. Sau 2 phút kể từ khi bắt đầu chuyển động, Cabin đạt độ cao tối đa bao nhiêu lần?

Bài 1 (2 điểm).

a) Giải phương trình: $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1=0$.

b) Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos 2x-1}$.

c) Chứng minh rằng $\frac{1+\sin 2a}{1-\sin 2a}={\cot }^2\left(a-\frac{\pi }{4}\right)$.

d) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $(u_n)$, biết $u_5=19,u_9=35$.

Số nghiệm của phương trình $\sin \left(2x-40^{\circ }\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $-180^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ là bao nhiêu?

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đu, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình vẽ). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách $h(\text{m})$ từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian $t(\text{s})$ (với $t\ge 0$) bởi hệ thức $h=\left|3\cos \left[\frac{\pi }{3}(2t-1)\right]\right|$. Hỏi trong thời gian $10(\text{s})$ đầu tiên có bao nhiêu lần người chơi đu ở xa vị trí cân bằng nhất?

Cho phương trình lượng giác $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}=0$ (*). Khi đó

Cho phương trình lượng giác $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sqrt{3}=0$ (*). Khi đó

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình $\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x$ là $x_0=\frac{m}{n}\pi$ (với $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản, $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Tính giá trị của biểu thức $m+2n$.

(1 điểm) Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu $h(cm)$ của mực nước trong kênh tính theo thời gian $t$ trong một ngày $(0\le t\le 24)$ cho bởi công thức $h=3\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi }{3}\right)+10$. Hỏi vào thời điểm (giờ) nào trong ngày, độ sâu của mực nước là 7 cm?

(0,5 điểm)

Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim dẫn nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu lần lượt được gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết dưới dạng huyết áp tâm thu/ huyết áp tâm trương (ví dụ: chỉ số huyết áp 120 / 80 là một chỉ số khá thông thường). Giả sử một người có nhịp tim là 70 lần trong một phút và sự biến thiên huyết áp của người đó được mô hình hoá bởi hàm số $P(t)=100+20\sin \left(\frac{7\pi }{3}t\right)$, trong đó $P(t)$ là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân), còn $t$ là thời gian (tính theo giây). Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy cho biết huyết áp đạt 110mmHg tại những thời điểm $t$ bằng bao nhiêu? (đơn vị giây, làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho phương trình lượng giác $\cot 3x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$ (1). Khi đó: