Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \frac{\pi }{6}$ có họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trong khoảng $(0;2\pi )$: với $x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ chỉ có $x=\frac{\pi }{6}$ ($k=0$); với $x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ chỉ có $x=\frac{11\pi }{6}$ ($k=1$). Vậy có đúng 2 nghiệm thuộc $(0;2\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\cot x=-\sqrt{3}\iff \cot x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Do đó $x=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=1$ ta được nghiệm dương nhỏ nhất $x=\frac{2\pi }{3}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\cos x=-\sqrt{2}\iff \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Trên đường tròn lượng giác, phương trình $\cos x=c$ với $-1<c<1$ có đúng 2 điểm biểu diễn (hai điểm đối xứng qua trục hoành, ứng với $x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$). Vậy có 2 điểm biểu diễn, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\cot x=1\Rightarrow \cot x=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \tan x=\sqrt{3}\Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k=-1$: $x=\frac{\pi }{3}-\pi =-\frac{2\pi }{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $F=0,5$: $\frac{1}{2}(1-\cos a)=0,5\Rightarrow 1-\cos a=1\Rightarrow \cos a=0$. Vì $0^0\le a\le 360^0$ nên $a=90^0$ hoặc $a=270^0$ (tức $a=\frac{\pi }{2}$ hoặc $a=\frac{3\pi }{2}$). Đây là pha Thượng huyền (trăng lưỡi liềm đầu tháng, nửa mặt sáng) và Hạ huyền.

(AI giải đề cho tôi)
Mực nước cao nhất khi $h$ lớn nhất, tức $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}\right)=1$ (khi đó $h=15$ m). Khi đó $\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{3}=2k\pi \iff \frac{\pi t}{6}=-\frac{\pi }{3}+2k\pi \iff t=12k-2$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $t\ge 0$: $k=1$ cho $t=10$; $k=0$ cho $t=-2<0$ (loại). Vậy thời gian ngắn nhất để mực nước cao nhất là $t=10$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ (do $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$). Phương trình trở thành $-\cos 2x+\cos 3x=0$, tức $\cos 3x=\cos 2x$.

Trường hợp 1: $3x=2x+k2\pi \Rightarrow x=k2\pi$.

Trường hợp 2: $3x=-2x+k2\pi \Rightarrow 5x=k2\pi \Rightarrow x=\frac{2k\pi }{5}$.

Thử lại: với $x=2k\pi$, $\sin x=0$, $\cos 3x=1$ nên $0-1+1=0$ ✓; với $x=\frac{2k\pi }{5}$, do $\cos \frac{6k\pi }{5}=\cos \frac{4k\pi }{5}$ (vì $\frac{6k\pi }{5}+\frac{4k\pi }{5}=2k\pi$) nên $\cos 3x=\cos 2x$, và $2{\sin }^{2}x-1=-\cos 2x$ nên phương trình thỏa ✓.

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{2k\pi }{5},k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Lưu ý họ $x=k2\pi$ đã bao gồm trong họ $x=\frac{2k\pi }{5}$ khi $k$ chia hết cho 5, nên có thể viết gọn $S=\left\{\frac{2k\pi }{5}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$. a) Đúng. b) Sai: nghiệm đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), không phải $+k\pi$. c) Đúng: trong $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}$. d) Đúng: vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cos x=\frac{1}{2}$ ta được $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), không phải $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=-\frac{\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$: với $k=-1$ ta được $x=-\frac{3\pi }{4}$; với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{4}$; với $k=1$ ta được $x=\frac{5\pi }{4}$. Các giá trị $k$ khác cho nghiệm ngoài đoạn đã cho. Vậy phương trình có 3 nghiệm trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải phương trình $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vì $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (do $\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$), nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có:

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}⟺x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{6}$, $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓; với $x=-\frac{5\pi }{6}$, $\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓ (hàm cos là hàm chẵn).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, nên a) đúng. Suy ra $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi$. Nghiệm thứ hai không phải $\frac{7\pi }{12}+k2\pi$, nên b) sai. Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có đúng 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=-\frac{5\pi }{12}$, nên c) đúng. Tổng hai nghiệm bằng $-\frac{\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=-\frac{\pi }{2}\ne -\frac{\pi }{12}$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi$, không có họ nghiệm $\frac{7\pi }{12}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(-\pi ;\pi )$ có đúng 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=-\frac{5\pi }{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong $(-\pi ;\pi )$ là $-\frac{\pi }{12}+\left(-\frac{5\pi }{12}\right)=-\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ ta được $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (mệnh đề a đúng). Nghiệm tổng quát: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Mệnh đề b đưa $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ là sai vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$ (mệnh đề b sai). Các nghiệm dương: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (mệnh đề c đúng). Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ (nghiệm $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng), tức chỉ có một nghiệm chứ không phải hai (mệnh đề d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Với $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ thì $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm dương theo thứ tự: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có $x=\frac{\pi }{4}$ thỏa mãn ($\frac{3\pi }{4}$ ngoài khoảng), nên chỉ có một nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$.

Đây chính là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị nên khẳng định a) đúng.

Giải: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ (vô nghiệm) hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy khẳng định b) đúng.

Với $x\in [0;2\pi ]$: các nghiệm là $x=\frac{3\pi }{8}$ ($k=0$), $x=\frac{11\pi }{8}$ ($k=1$); với $k=2$ ta được $x=\frac{19\pi }{8}>2\pi$ (loại). Vậy hai đồ thị chỉ cắt nhau tại hai điểm, khẳng định c) sai.

Tọa độ giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ như đề, nên khẳng định d) sai.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$ là $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$: đúng.

b) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$ (trường hợp $x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ vô nghiệm): đúng.

c) Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có hai nghiệm $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$ (nghiệm $k=2$ là $\frac{19\pi }{8}>2\pi$), nên hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm chứ không phải ba.

d) Tọa độ giao điểm đúng là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải với hoành độ $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=-\frac{1}{2}$. Nghiệm tổng quát: $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trên khoảng $(0;\pi )$: với $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$, cần $0<-\frac{\pi }{6}+k2\pi <\pi$ $\Rightarrow \frac{1}{12}<k<\frac{7}{12}$, vô nghiệm nguyên. Với $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, cần $0<\frac{7\pi }{6}+k2\pi <\pi$ $\Rightarrow -\frac{7}{12}<k<-\frac{1}{12}$, vô nghiệm nguyên. Về mặt lý luận: trên $(0;\pi )$ ta có $\sin x>0$, nên phương trình $\sin x=-\frac{1}{2}<0$ vô nghiệm. Vậy phương trình không có nghiệm nào trên khoảng $(0;\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}\iff \sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$, tức $x=20^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=80^{\circ }+k360^{\circ }$ $(k\in \mathbb{Z})$. Với điều kiện $-180^{\circ }<x<180^{\circ }$: từ họ thứ nhất chỉ lấy $k=0$ cho $x=20^{\circ }$; từ họ thứ hai chỉ lấy $k=0$ cho $x=80^{\circ }$. Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng $(-180^{\circ };180^{\circ })$ là $x=20^{\circ }$ và $x=80^{\circ }$. Kiểm tra: $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng phương trình:

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
$\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
• $3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{11\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}$.
• $3x=-\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos (x-2)=\frac{2}{5}\Rightarrow x-2=\pm \arccos \frac{2}{5}+k2\pi$.
$\Rightarrow x=2\pm \arccos \frac{2}{5}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cos (2x+50^{\circ })=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$.
$\Rightarrow 2x+50^{\circ }=\pm 60^{\circ }+k360^{\circ }$.
• $2x=10^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=5^{\circ }+k180^{\circ }$.
• $2x=-110^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-55^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) $(1+2\cos x)(3-\cos x)=0$.
Vì $3-\cos x>0$ nên $1+2\cos x=0\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=1\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{6}=k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

g) $2019\cos (x+30^{\circ })=2020\Rightarrow \cos (x+30^{\circ })=\frac{2020}{2019}>1$: vô nghiệm.

h) $\cos (3x+10^{\circ })=-1\Rightarrow 3x+10^{\circ }=180^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=\frac{170^{\circ }}{3}+k120^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

i) $\sin 3x-\cos 2x=0\iff \sin 3x=\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$.
$\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi$ hoặc $3x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+k2\pi$.
• $5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}$.
• $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

j) $\cos \left(\cos (x+2)\right)=1$. Vì $-1\le \cos (x+2)\le 1$ và $\cos t=1\iff t=0$ (khi $|t|\le 1$), nên $\cos (x+2)=0\Rightarrow x+2=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{2}-2+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}$.
Suy ra $x+\frac{\pi }{2}=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Với điều kiện $0\le x\le 2\pi$: từ họ thứ nhất lấy $k=1$ được $x=\frac{7\pi }{4}$; từ họ thứ hai lấy $k=1$ được $x=\frac{5\pi }{4}$.
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn: $x=\frac{5\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \frac{3\pi }{11}$ có họ nghiệm $x=\frac{3\pi }{11}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (đều thuộc miền xác định của hàm tan). Xét điều kiện $\frac{\pi }{4}<x<2\pi$: với $k=0$, $x=\frac{3\pi }{11}\approx 0,857>\frac{\pi }{4}\approx 0,785$ nên thỏa mãn; với $k=1$, $x=\frac{3\pi }{11}+\pi =\frac{14\pi }{11}\approx 4,0<2\pi \approx 6,28$ nên thỏa mãn; với $k=2$, $x=\frac{25\pi }{11}\approx 7,14>2\pi$ (loại); với $k=-1$, $x=-\frac{8\pi }{11}<\frac{\pi }{4}$ (loại). Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};2\pi \right)$: $x=\frac{3\pi }{11}$ và $x=\frac{14\pi }{11}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ ta có $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$. So sánh với dạng $x=-\frac{\pi }{m}+\frac{k\pi }{n}$ với $\frac{k}{n}$ tối giản: $m=6$, $n=1$. Vậy $m-n=6-1=5$. Đáp án A.