Giải các phương trình sau

a. $\tan 2x=\tan \frac{2\pi }{7}$. b. $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{3}$.

c. $\tan (3x-30^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. d. ${\tan }^{2}x=1$.

e. $\tan 2x=0$. f. $\cot \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$.

g. $\left(\cot \frac{x}{2}-1\right)\left(\cot \frac{x}{2}+1\right)=0$. h. $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)+2\tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1$.

i. $\tan (x-30^{\circ })\cdot \cos (2x-150)=0$. j. $\left(3\tan x+\sqrt{3}\right)(2\sin x-1)=0$.

k. $\tan x\cdot \tan 2x=-1$. l. $\tan 4x\cdot \cot 2x=1$.

m. $\sin 2x\cdot \cot x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng phương trình (điều kiện: tan xác định khi cos≠0, cot xác định khi sin≠0).

a. $\tan 2x=\tan \frac{2\pi }{7}\Rightarrow 2x=\frac{2\pi }{7}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{7}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

b. $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c. $\tan (3x-30^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan (-30^{\circ })\Rightarrow 3x-30^{\circ }=-30^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=k\cdot 60^{\circ },k\in \mathbb{Z}$.

d. ${\tan }^{2}x=1\Rightarrow \tan x=\pm 1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

e. $\tan 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

f. $\cot \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 4x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

g. $\left(\cot \frac{x}{2}-1\right)\left(\cot \frac{x}{2}+1\right)=0\Rightarrow \cot \frac{x}{2}=\pm 1\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa điều kiện $\sin \frac{x}{2}\ne 0$).

h. Dùng $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ và $\tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\cot x$: phương trình thành $\cot x-2\cot x=1\Rightarrow \cot x=-1\Rightarrow \tan x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

i. $\tan (x-30^{\circ })\cdot \cos (2x-150^{\circ })=0$.
• $\tan (x-30^{\circ })=0\Rightarrow x=180^{\circ }k$ (với $x=180^{\circ }k$, $\tan (150^{\circ })$ xác định, thỏa mãn).
• $\cos (2x-150^{\circ })=0\Rightarrow 2x-150^{\circ }=90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=120^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }$. Khi đó $x-30^{\circ }=90^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }$: với $k$ chẵn, $\tan$ không xác định (loại); với $k$ lẻ, $x=210^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$, khi đó $\tan (x-30^{\circ })=\tan 180^{\circ }=0$ và $\cos (2x-150^{\circ })=\cos 270^{\circ }=0$, thỏa mãn.
Vậy $x=180^{\circ }k$ hoặc $x=210^{\circ }+180^{\circ }k$, $k\in \mathbb{Z}$.

j. $(3\tan x+\sqrt{3})(2\sin x-1)=0$.
• $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$.
• $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ (các giá trị này đều làm $\tan x$ xác định).
Vậy $x\in \left\{-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

k. Điều kiện $\cos x\ne 0$, $\cos 2x\ne 0$. Đặt $t=\tan x$: $\tan 2x=\frac{2t}{1-t^2}$, phương trình thành $\frac{2t^2}{1-t^2}=-1\Rightarrow 2t^2=t^2-1\Rightarrow t^2=-1$, vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm.

l. Điều kiện $\tan 2x$ xác định và $\tan 2x\ne 0$. Phương trình $\frac{\tan 4x}{\tan 2x}=1\Rightarrow \tan 4x=\tan 2x\Rightarrow 4x=2x+k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}$. Nhưng khi đó $\tan 2x=\tan (k\pi )=0$, mâu thuẫn với điều kiện $\cot 2x$ xác định. Vậy phương trình vô nghiệm.

m. Điều kiện $\sin x\ne 0$. $\sin 2x\cdot \cot x=2\sin x\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=2{\cos }^{2}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Kiểm tra: $\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ xác định. Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.