Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m$ thuộc tập giá trị của hàm số $y=\cos x$, mà tập giá trị của hàm cosin là $[-1;1]$. Do đó phương trình có nghiệm khi $-1\le m\le 1$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$. a) Đúng. b) Sai: nghiệm đúng là $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), không phải $+k\pi$. c) Đúng: trong $(-\pi ;\pi )$ có hai nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{3}$. d) Đúng: vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos x-1=0\iff \cos x=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\cos x=\frac{1}{2}$ ta được $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), không phải $x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$, phương trình có đúng hai nghiệm $x=\frac{\pi }{3}$ và $x=-\frac{\pi }{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ nên $\cos x=\frac{1}{2}\iff \cos x=\cos \frac{\pi }{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\sin x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$: với $k=-1$ ta được $x=-\frac{3\pi }{4}$; với $k=0$ ta được $x=\frac{\pi }{4}$; với $k=1$ ta được $x=\frac{5\pi }{4}$. Các giá trị $k$ khác cho nghiệm ngoài đoạn đã cho. Vậy phương trình có 3 nghiệm trên đoạn $[-\pi ;2\pi ]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải phương trình $\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Vì $\cos \left(\frac{5\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (do $\cos \left(\pi -\frac{\pi }{6}\right)=-\cos \frac{\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$), nên theo công thức nghiệm của phương trình $\cos x=\cos \alpha$ ta có:

$$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{5\pi }{6}⟺x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Kiểm tra: với $x=\frac{5\pi }{6}$, $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓; với $x=-\frac{5\pi }{6}$, $\cos \left(-\frac{5\pi }{6}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ✓ (hàm cos là hàm chẵn).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số có chu kì $2\pi$ và đạt giá trị 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\sin \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Đây là công thức nghiệm chuẩn của phương trình lượng giác dạng sin. Ví dụ kiểm tra: với $\alpha =\frac{\pi }{6}$, nghiệm là $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, thỏa mãn $\sin x=\frac{1}{2}$. Các phương án B, C, D là công thức nghiệm của $\cos x=\cos \alpha$, hoặc $\tan x=\tan \alpha$, không đúng cho sin.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=\cos \alpha$ có nghiệm $x=\pm \alpha +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $\cos$ là hàm chẵn và có chu kỳ $2\pi$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ có chu kỳ $\pi$, do đó phương trình $\tan x=\tan \alpha$ có nghiệm $x=\alpha +k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$ (kèm điều kiện $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=\frac{1}{2}$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi -\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, với $k\in \mathbb{Z}$. Kiểm tra: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ và $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$, thỏa mãn. Đây chính là đáp án A.

(AI giải đề cho tôi) $\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$. Đây chính là đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=1$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì $\tan \frac{\pi }{4}=1$ và hàm $\tan$ có chu kỳ $\pi$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{5\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ và $-1\le \cos x\le 1$: B ($\sin x=-2$), C ($\sin x=\sqrt{2}>1$), D ($\cos x=2$) vô nghiệm. Chỉ $\sin x=\frac{1}{2}\in [-1;1]$ có nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{3}=0\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$, nên a) đúng. Suy ra $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi$. Nghiệm thứ hai không phải $\frac{7\pi }{12}+k2\pi$, nên b) sai. Trong khoảng $(-\pi ;\pi )$ có đúng 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=-\frac{5\pi }{12}$, nên c) đúng. Tổng hai nghiệm bằng $-\frac{\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=-\frac{\pi }{2}\ne -\frac{\pi }{12}$, nên d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{3}\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $x+\frac{\pi }{4}=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$ được $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{5\pi }{12}+k2\pi$, không có họ nghiệm $\frac{7\pi }{12}+k2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trong $(-\pi ;\pi )$ có đúng 2 nghiệm: $x=-\frac{\pi }{12}$ và $x=-\frac{5\pi }{12}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trong $(-\pi ;\pi )$ là $-\frac{\pi }{12}+\left(-\frac{5\pi }{12}\right)=-\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\sin x=\sqrt{2}$ ta được $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$, nên phương trình tương đương $\sin x=\sin \frac{\pi }{4}$ (mệnh đề a đúng). Nghiệm tổng quát: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Mệnh đề b đưa $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ là sai vì $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$ (mệnh đề b sai). Các nghiệm dương: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$ (mệnh đề c đúng). Trong khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có nghiệm $x=\frac{\pi }{4}$ (nghiệm $\frac{3\pi }{4}$ nằm ngoài khoảng), tức chỉ có một nghiệm chứ không phải hai (mệnh đề d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2\sin x=\sqrt{2}\iff \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm đúng là $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$. Với $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ thì $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\ne \frac{\sqrt{2}}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các nghiệm dương theo thứ tự: $\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{9\pi }{4},\dots$ nên nghiệm dương nhỏ nhất là $\frac{\pi }{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ chỉ có $x=\frac{\pi }{4}$ thỏa mãn ($\frac{3\pi }{4}$ ngoài khoảng), nên chỉ có một nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình hoành độ giao điểm: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$.

Đây chính là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị nên khẳng định a) đúng.

Giải: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ (vô nghiệm) hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff 2x=\frac{3\pi }{4}+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy khẳng định b) đúng.

Với $x\in [0;2\pi ]$: các nghiệm là $x=\frac{3\pi }{8}$ ($k=0$), $x=\frac{11\pi }{8}$ ($k=1$); với $k=2$ ta được $x=\frac{19\pi }{8}>2\pi$ (loại). Vậy hai đồ thị chỉ cắt nhau tại hai điểm, khẳng định c) sai.

Tọa độ giao điểm là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$ như đề, nên khẳng định d) sai.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ và $y=\sin x$ là $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x$: đúng.

b) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff x+\frac{\pi }{4}=\pi -x+2k\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$ (trường hợp $x+\frac{\pi }{4}=x+2k\pi$ vô nghiệm): đúng.

c) Với $x\in [0;2\pi ]$ chỉ có hai nghiệm $x=\frac{3\pi }{8}$ và $x=\frac{11\pi }{8}$ (nghiệm $k=2$ là $\frac{19\pi }{8}>2\pi$), nên hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm chứ không phải ba.

d) Tọa độ giao điểm đúng là $\left(\frac{3\pi }{8};\sin \frac{3\pi }{8}\right)$ và $\left(\frac{11\pi }{8};\sin \frac{11\pi }{8}\right)$, không phải với hoành độ $\frac{5\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x=-\frac{1}{2}$. Nghiệm tổng quát: $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét trên khoảng $(0;\pi )$: với $x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi$, cần $0<-\frac{\pi }{6}+k2\pi <\pi$ $\Rightarrow \frac{1}{12}<k<\frac{7}{12}$, vô nghiệm nguyên. Với $x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$, cần $0<\frac{7\pi }{6}+k2\pi <\pi$ $\Rightarrow -\frac{7}{12}<k<-\frac{1}{12}$, vô nghiệm nguyên. Về mặt lý luận: trên $(0;\pi )$ ta có $\sin x>0$, nên phương trình $\sin x=-\frac{1}{2}<0$ vô nghiệm. Vậy phương trình không có nghiệm nào trên khoảng $(0;\pi )$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin (x+40^{\circ })=\sqrt{3}\iff \sin (x+40^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $x+40^{\circ }=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x+40^{\circ }=120^{\circ }+k360^{\circ }$, tức $x=20^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=80^{\circ }+k360^{\circ }$ $(k\in \mathbb{Z})$. Với điều kiện $-180^{\circ }<x<180^{\circ }$: từ họ thứ nhất chỉ lấy $k=0$ cho $x=20^{\circ }$; từ họ thứ hai chỉ lấy $k=0$ cho $x=80^{\circ }$. Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng $(-180^{\circ };180^{\circ })$ là $x=20^{\circ }$ và $x=80^{\circ }$. Kiểm tra: $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, thỏa mãn.