Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi$. Phương trình $\frac{\sin 3x}{\cos x+1}=0\iff \sin 3x=0\iff 3x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$. Vì $x\in [2\pi ;4\pi ]$ nên $2\pi \le \frac{k\pi }{3}\le 4\pi \iff 6\le k\le 12$, tức $k\in \{6,7,8,9,10,11,12\}$, cho $x\in \{2\pi ,\frac{7\pi }{3},\frac{8\pi }{3},3\pi ,\frac{10\pi }{3},\frac{11\pi }{3},4\pi \}$. Kiểm tra điều kiện: với $x=3\pi$ thì $\cos 3\pi =-1$ (mẫu bằng 0) nên loại. Các giá trị còn lại đều thỏa mãn $\cos x\ne -1$. Vậy tập nghiệm là $\left\{2\pi ;\frac{7\pi }{3};\frac{8\pi }{3};\frac{10\pi }{3};\frac{11\pi }{3};4\pi \right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng phương trình:

a) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{3\pi }{4}$.
$\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{6}=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi$.
• $3x=\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =\frac{11\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{11\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}$.
• $3x=-\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{6}+k2\pi =-\frac{7\pi }{12}+k2\pi \Rightarrow x=-\frac{7\pi }{36}+\frac{k2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $\cos (x-2)=\frac{2}{5}\Rightarrow x-2=\pm \arccos \frac{2}{5}+k2\pi$.
$\Rightarrow x=2\pm \arccos \frac{2}{5}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $\cos (2x+50^{\circ })=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }$.
$\Rightarrow 2x+50^{\circ }=\pm 60^{\circ }+k360^{\circ }$.
• $2x=10^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=5^{\circ }+k180^{\circ }$.
• $2x=-110^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=-55^{\circ }+k180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

d) $(1+2\cos x)(3-\cos x)=0$.
Vì $3-\cos x>0$ nên $1+2\cos x=0\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $\cos \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=1\Rightarrow 3x-\frac{\pi }{6}=k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{18}+\frac{k2\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $2\cos x=-1\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

g) $2019\cos (x+30^{\circ })=2020\Rightarrow \cos (x+30^{\circ })=\frac{2020}{2019}>1$: vô nghiệm.

h) $\cos (3x+10^{\circ })=-1\Rightarrow 3x+10^{\circ }=180^{\circ }+k360^{\circ }\Rightarrow x=\frac{170^{\circ }}{3}+k120^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

i) $\sin 3x-\cos 2x=0\iff \sin 3x=\cos 2x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$.
$\Rightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi$ hoặc $3x=\pi -\left(\frac{\pi }{2}-2x\right)+k2\pi$.
• $5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{10}+\frac{k2\pi }{5}$.
• $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

j) $\cos \left(\cos (x+2)\right)=1$. Vì $-1\le \cos (x+2)\le 1$ và $\cos t=1\iff t=0$ (khi $|t|\le 1$), nên $\cos (x+2)=0\Rightarrow x+2=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{2}-2+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=1\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos \frac{\pi }{4}$.
Suy ra $x+\frac{\pi }{2}=\pm \frac{\pi }{4}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{4}+2k\pi$ hoặc $x=-\frac{3\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Với điều kiện $0\le x\le 2\pi$: từ họ thứ nhất lấy $k=1$ được $x=\frac{7\pi }{4}$; từ họ thứ hai lấy $k=1$ được $x=\frac{5\pi }{4}$.
Vậy có 2 nghiệm thỏa mãn: $x=\frac{5\pi }{4}$ và $x=\frac{7\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng phương trình (điều kiện: tan xác định khi cos≠0, cot xác định khi sin≠0).

a. $\tan 2x=\tan \frac{2\pi }{7}\Rightarrow 2x=\frac{2\pi }{7}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{7}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

b. $\tan \frac{x}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

c. $\tan (3x-30^{\circ })=-\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan (-30^{\circ })\Rightarrow 3x-30^{\circ }=-30^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=k\cdot 60^{\circ },k\in \mathbb{Z}$.

d. ${\tan }^{2}x=1\Rightarrow \tan x=\pm 1\Rightarrow x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

e. $\tan 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

f. $\cot \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}\Rightarrow 4x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow 4x=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$.

g. $\left(\cot \frac{x}{2}-1\right)\left(\cot \frac{x}{2}+1\right)=0\Rightarrow \cot \frac{x}{2}=\pm 1\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (thỏa điều kiện $\sin \frac{x}{2}\ne 0$).

h. Dùng $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ và $\tan \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\cot x$: phương trình thành $\cot x-2\cot x=1\Rightarrow \cot x=-1\Rightarrow \tan x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

i. $\tan (x-30^{\circ })\cdot \cos (2x-150^{\circ })=0$.
• $\tan (x-30^{\circ })=0\Rightarrow x=180^{\circ }k$ (với $x=180^{\circ }k$, $\tan (150^{\circ })$ xác định, thỏa mãn).
• $\cos (2x-150^{\circ })=0\Rightarrow 2x-150^{\circ }=90^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\Rightarrow x=120^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }$. Khi đó $x-30^{\circ }=90^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }$: với $k$ chẵn, $\tan$ không xác định (loại); với $k$ lẻ, $x=210^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$, khi đó $\tan (x-30^{\circ })=\tan 180^{\circ }=0$ và $\cos (2x-150^{\circ })=\cos 270^{\circ }=0$, thỏa mãn.
Vậy $x=180^{\circ }k$ hoặc $x=210^{\circ }+180^{\circ }k$, $k\in \mathbb{Z}$.

j. $(3\tan x+\sqrt{3})(2\sin x-1)=0$.
• $\tan x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$.
• $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$ (các giá trị này đều làm $\tan x$ xác định).
Vậy $x\in \left\{-\frac{\pi }{6}+k\pi ,\frac{\pi }{6}+2k\pi ,\frac{5\pi }{6}+2k\pi \right\}$, $k\in \mathbb{Z}$.

k. Điều kiện $\cos x\ne 0$, $\cos 2x\ne 0$. Đặt $t=\tan x$: $\tan 2x=\frac{2t}{1-t^2}$, phương trình thành $\frac{2t^2}{1-t^2}=-1\Rightarrow 2t^2=t^2-1\Rightarrow t^2=-1$, vô nghiệm. Vậy phương trình vô nghiệm.

l. Điều kiện $\tan 2x$ xác định và $\tan 2x\ne 0$. Phương trình $\frac{\tan 4x}{\tan 2x}=1\Rightarrow \tan 4x=\tan 2x\Rightarrow 4x=2x+k\pi \Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}$. Nhưng khi đó $\tan 2x=\tan (k\pi )=0$, mâu thuẫn với điều kiện $\cot 2x$ xác định. Vậy phương trình vô nghiệm.

m. Điều kiện $\sin x\ne 0$. $\sin 2x\cdot \cot x=2\sin x\cos x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}=2{\cos }^{2}x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Kiểm tra: $\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ xác định. Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \frac{3\pi }{11}$ có họ nghiệm $x=\frac{3\pi }{11}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (đều thuộc miền xác định của hàm tan). Xét điều kiện $\frac{\pi }{4}<x<2\pi$: với $k=0$, $x=\frac{3\pi }{11}\approx 0,857>\frac{\pi }{4}\approx 0,785$ nên thỏa mãn; với $k=1$, $x=\frac{3\pi }{11}+\pi =\frac{14\pi }{11}\approx 4,0<2\pi \approx 6,28$ nên thỏa mãn; với $k=2$, $x=\frac{25\pi }{11}\approx 7,14>2\pi$ (loại); với $k=-1$, $x=-\frac{8\pi }{11}<\frac{\pi }{4}$ (loại). Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm trên khoảng $\left(\frac{\pi }{4};2\pi \right)$: $x=\frac{3\pi }{11}$ và $x=\frac{14\pi }{11}$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\cos x=-1$ có nghiệm $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\cot \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sqrt{3}$ ta có $x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x=-\frac{\pi }{6}+k\pi$. So sánh với dạng $x=-\frac{\pi }{m}+\frac{k\pi }{n}$ với $\frac{k}{n}$ tối giản: $m=6$, $n=1$. Vậy $m-n=6-1=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\tan x=\tan \alpha$ (với $\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$) có nghiệm tổng quát $x=\alpha +k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, vì hàm số $y=\tan x$ có chu kỳ $\pi$ và trên mỗi chu kỳ nghiệm là duy nhất. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ sao cho $h(t)=10$, với $0\le t<24$.

$$2\cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)+9=10\iff \cos \left(\frac{\pi t}{6}\right)=\frac{1}{2}$$

Suy ra $\frac{\pi t}{6}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, tức $t=\pm 2+12k$.

Với điều kiện $0\le t<24$:
- $k=0$: $t=2$ (nhận), $t=-2$ (loại).
- $k=1$: $t=10$ (nhận), $t=14$ (nhận).
- $k=2$: $t=22$ (nhận), $t=26$ (loại).

Vậy độ sâu mực nước bằng 10 m tại các thời điểm $t=2$ giờ, $t=10$ giờ, $t=14$ giờ và $t=22$ giờ trong ngày. Kiểm tra: $h(2)=2\cos (\pi /3)+9=1+9=10$; $h(10)=2\cos (5\pi /3)+9=1+9=10$; $h(14)=2\cos (7\pi /3)+9=10$; $h(22)=2\cos (11\pi /3)+9=10$. Đề bài hỏi 'khoảng thời gian nào' nên có thể trình bày dưới dạng các thời điểm trên (hoặc các khoảng quanh các thời điểm này, ví dụ $1<t<3$, $9<t<11$, $13<t<15$, $21<t<23$ nếu hiểu là độ sâu lớn hơn 10 m).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần giải $h(t)=40$: $30+20\sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=40\Rightarrow \sin \left(\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$.

Trường hợp 1: $\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow \frac{\pi t}{25}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow t=-\frac{25}{6}+50k$. Với $k=1$ ta được $t=\frac{275}{6}\approx 45,8$ giây.

Trường hợp 2: $\frac{\pi t}{25}+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow \frac{\pi t}{25}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{25}{2}+50k=12,5+50k$.

Giá trị $t\ge 0$ nhỏ nhất là $t=12,5$ giây (thuộc trường hợp 2 với $k=0$).

Vậy cabin đạt độ cao 40 m lần đầu tiên sau $12,5$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin đạt độ cao tối đa khi $\sin \left(\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}\right)=1$, tức $\frac{\pi }{25}t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow t=\frac{25}{12}+50k$. Với $0\le t\le 120$ (2 phút): $0\le \frac{25}{12}+50k\le 120\Rightarrow -\frac{1}{24}\le k\le \frac{479}{200}\approx 2,395$, nên $k\in \{0;1;2\}$. Vậy cabin đạt độ cao tối đa 3 lần (tại $t\approx 2,08$s; $52,08$s; $102,08$s).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1:

a) $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-1=0\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}$.
Suy ra $x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ hoặc $x-\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$).
Vậy $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ hoặc $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) Hàm số $y=\frac{\cot x}{\cos 2x-1}$ xác định khi $\sin x\ne 0$ (để $\cot x$ xác định) và $\cos 2x-1\ne 0$.
- $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$.
- $\cos 2x\ne 1\iff 2x\ne k2\pi \iff x\ne k\pi$.
Hai điều kiện trùng nhau, vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$.

c) Ta có $1+\sin 2a={\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=(\sin a+\cos a{)}^2$ và $1-\sin 2a=(\sin a-\cos a{)}^2$.
Mặt khác: $\cos \left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\cos a+\sin a}{\sqrt{2}}$, $\sin \left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin a-\cos a}{\sqrt{2}}$.
Do đó ${\cot }^2\left(a-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{(\cos a+\sin a{)}^2}{(\sin a-\cos a{)}^2}=\frac{1+\sin 2a}{1-\sin 2a}$. (đpcm)

d) $u_9-u_5=4d=35-19=16\Rightarrow d=4$.
$u_1=u_5-4d=19-16=3$.
Vậy số hạng đầu $u_1=3$, công sai $d=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x-\sqrt{3}=0$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi }{6}$. Do đó $x=\pm \frac{\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ với mọi $x$, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $m\in [-1;1]$, tức là $|m|\le 1$. Do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sin x=-1$ có nghiệm $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ (vì $\sin x=-1$ chỉ đạt tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, chu kì $2\pi$). Kiểm tra: với $k=0$, $\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=-1$ đúng. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{3}\tan \frac{x}{3}+3=0\iff \tan \frac{x}{3}=-\sqrt{3}$ (với $\frac{x}{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$). Suy ra $\frac{x}{3}=-\frac{\pi }{3}+k\pi$, do đó $x=-\pi +3k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $S=\{-\pi +k3\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=0\iff x+\frac{\pi }{3}=k\pi \iff x=-\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Xét điều kiện $x\in [\pi ;2\pi ]$: $\pi \le -\frac{\pi }{3}+k\pi \le 2\pi \iff \frac{4}{3}\le k\le \frac{7}{3}$.

Vì $k$ nguyên nên $k=2$, cho $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}\in [\pi ;2\pi ]$.

Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm thuộc đoạn $[\pi ;2\pi ]$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2\cos x=\sqrt{3}$ ta có $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ → a đúng. Trong đoạn $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$: với $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ có $k=0,1$ cho $x=\frac{\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$; với $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ có $k=1$ cho $x=\frac{5\pi }{3}$ (các giá trị khác nằm ngoài đoạn). Vậy chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$ → b sai. Tổng các nghiệm $=\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}+\frac{7\pi }{3}=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$ → c sai. Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}\ne \frac{13\pi }{6}$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong $\left[0;\frac{5\pi }{2}\right]$ chỉ có 3 nghiệm: $\frac{\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm $=\frac{13\pi }{3}\ne \frac{25\pi }{6}$
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm lớn nhất là $\frac{7\pi }{3}$, không phải $\frac{13\pi }{6}$

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x-40^{\circ }$, với $-180^{\circ }\le x\le 180^{\circ }$ thì $-400^{\circ }\le t\le 320^{\circ }$. Phương trình $\sin t=\frac{\sqrt{3}}{2}$ có họ nghiệm $t=60^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $t=120^{\circ }+k360^{\circ }$. Với $t=60^{\circ }+k360^{\circ }$: $k=0$ cho $t=60^{\circ }$; $k=-1$ cho $t=-300^{\circ }$ (2 giá trị). Với $t=120^{\circ }+k360^{\circ }$: $k=0$ cho $t=120^{\circ }$; $k=-1$ cho $t=-240^{\circ }$ (2 giá trị). Vậy có 4 giá trị của $t$, tương ứng 4 nghiệm $x=\frac{t+40^{\circ }}{2}$: $x=50^{\circ },80^{\circ },-130^{\circ },-100^{\circ }$, tất cả đều thuộc $[-180^{\circ },180^{\circ }]$. Số nghiệm là 4.