Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng $(-9;9)$ của tham số $m$ để bất phương trình $3\log x\le 2\log \left(m\sqrt{x-x^2}-(1-x)\sqrt{1-x}\right)$ có nghiệm thực?

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\sqrt{x-x^2}$ và $\sqrt{1-x}$ yêu cầu $0<x<1$, khi đó $\log x$ xác định.

Bất phương trình $3\log x\le 2\log \left(m\sqrt{x-x^2}-(1-x)\sqrt{1-x}\right)$ tương đương với
$$x^3\le {\left(m\sqrt{x(1-x)}-(1-x)\sqrt{1-x}\right)}^2\text{vaˋ}m\sqrt{x(1-x)}-(1-x)\sqrt{1-x}>0.$$
Vì vế phải dương, điều kiện tương đương
$$m\sqrt{x(1-x)}\ge x^{3/2}+(1-x{)}^{3/2}.$$
Chia hai vế cho $\sqrt{x(1-x)}>0$, bất phương trình có nghiệm thực khi và chỉ khi tồn tại $x\in (0,1)$ sao cho
$$m\ge g(x):=\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}},$$
tức là $m\ge {\min }_{(0,1)}g(x)$.

Tìm min: $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1/2}{1/\sqrt{2}}+\frac{1/2}{1/\sqrt{2}}=\sqrt{2}$. Đạo hàm
$$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2(1-x{)}^{3/2}}-\frac{1-x}{2x^{3/2}}-\frac{1}{\sqrt{x}},$$
và $g^{\prime }(1/2)=0$; khảo sát dấu cho thấy $g^{\prime }(x)<0$ với $x<\frac{1}{2}$ và $g^{\prime }(x)>0$ với $x>\frac{1}{2}$ (hàm đối xứng qua $x=\frac{1}{2}$: $g(x)=g(1-x)$), nên ${\min }_{(0,1)}g=g\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{2}$.

Kiểm tra thêm: với $x=0,4$: $g=\frac{0,4}{\sqrt{0,6}}+\frac{0,6}{\sqrt{0,4}}\approx 0,516+0,949=1,465>\sqrt{2}$; với $x=0,6$ cũng $\approx 1,465$. Vậy đúng là min $=\sqrt{2}$ tại $x=\frac{1}{2}$.

Vậy bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge \sqrt{2}$. Với $m$ nguyên thuộc khoảng $(-9;9)$, các giá trị thỏa mãn là $m\in \{2,3,4,5,6,7,8\}$: có $7$ giá trị.

(Kiểm tra: với $m=2$, $x=\frac{1}{2}$: $2\cdot \frac{1}{2}=1\ge {\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$, thỏa mãn; với $m=1<\sqrt{2}$ thì vô nghiệm.)

Vậy chọn đáp án D.